2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学习目标核心素养1．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算．(重点)2．能运用数量积表示两个向量的夹角．计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示(1)向量内积的坐标运算：已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.2．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝.(2)两点间的距离：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)两向量的夹角：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝.思考：与向量a＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标如何表示？[提示]由于单位向量a0＝，且|a|＝，所以a0＝＝(a1，a2)＝，此为与向量a＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标．1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝()A．5B．4C．－2D．－1D[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]2．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.－[ a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝＝2，|b|＝＝10.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.]3．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________.±4[|a|＝＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]平面向量数量积的坐标运算【例1】(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于()A．B．－C．D．－(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，则a·b＝________，a·(a－b)＝________.(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.[思路探究]根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．(1)D(2)14(3)[(1)因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－.(2)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，所以解得所以c＝.]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11C[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.]向量的模的问题【例2】(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于()A．4B．5C．3D．4(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.[思路探究](1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝.(1)D(2)24[(1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4.故选D.(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，因此|a＋b|＝2，|a－b|＝4.]向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝.2．已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________．[，＋∞)[ a＋b＝(x，x＋2)，∴|a＋b|＝＝＝≥，∴|a＋b|∈[，＋∞)．]向量的夹角与垂直问题[探究问题]1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？[提示]cosθ＝＝.2．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？[提示] a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1. a，b的夹角α为钝角，∴即∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1...
