2.3.1平面向量基本定理学习目标核心素养(教师独具)1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．(重点)2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点)3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．(难点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.一、平面向量基本定理1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考1：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？[提示]能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？[提示]不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．二、平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．思考3：一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？[提示]能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．1．思考辨析(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底．()(2)0能与另外一个向量a构成基底．()(3)平面向量的基底不是唯一的．()[解析]平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√2．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.3[由原式可得解得所以x－y＝3.]3．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且BP＝PC.1(1)用AB，AC为基底表示AP＝________；(2)用AB，PC为基底表示AP＝________.AB＋ACAB＋PC[(1) AP＝AB＋BP，BP＝PC＝BC，BC＝AC－AB，∴AP＝AB＋BC＝AB＋AC－AB＝AB＋AC.(2)AP＝AB＋BP＝AB＋PC.]对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对思路点拨：根据有关概念及定理，逐一分析．A[平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．]考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．1．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．[解]设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．用基底表示向量【例2】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN＝NC，BN与CM相交于点E，设AB＝a，AC＝b，试用基底a，b表示向量AE.思路点拨：本题可过N作AB的平行线，交CM于D，利用平行线的性质结合向量的线性表示求解，也可利用三点共线的条件结合平面向量定理的唯一性求解．2[解]法一：由已知，在△ABC中，AM＝MB，且AN＝NC，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示．在△ACM中，＝＝，所以＝＝＝，所以NE＝NB，AE＝AN＋NE＝AC＋NB＝AC＋(NA＋AB)＝AC＋＝AB＋AC＝a＋b.法二：易得AN＝AC＝b，AM＝AB＝a，由N，E，B三点共线知存在实数m，满足AE＝mAN＋(1－m)AB＝mb＋(1－m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足AE＝nAM＋(1－n)AC＝na＋(1－n)b.所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b.因为a，b为基底，所以解得所以AE＝a＋b.将两个不共线的向量作为基底表示其他...
