第1课时平面向量的坐标运算学习目标核心素养(教师独具)1.掌握向量的坐标表示．(重点)2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．(易混点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．思考1：如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?[提示]a＝2i＋2j.思考2：在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？[提示]对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关．二、平面向量的坐标运算1．已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．思考3：设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？[提示]a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.1．思考辨析(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．()1[答案](1)×(2)×(3)√2．若A(2，－1)，B(－1,3)，则AB的坐标是()A．(1,2)B．(－1，－2)C．(－3,4)D．(3，－4)[答案]C3．若a＝(－1,2)，b＝(3,4)，则a＋b＝________；a－b＝________；3a＝________；－5b＝________.(2,6)(－4，－2)(－3,6)(－15，－20)[a＋b＝(2,6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3,6)，－5b＝(－15，－20)．]平面向量的坐标表示【例1】在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．思路点拨：借助三角函数的定义求a，b的坐标．[解]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°，所以a1＝|a|cos45°＝4×＝2，a2＝|a|sin45°＝4×＝2.可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°，所以b1＝|b|cos120°＝3×＝－，b2＝|b|sin120°＝3×＝.故a＝(2，2)，b＝.求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标．[解]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝|a|cos45°＝2×＝，a2＝|a|sin45°＝2×＝；b1＝|b|cos120°＝3×＝－，b2＝|b|sin120°＝3×＝；c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．2平面向量的坐标运算【例2】已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1，8)，求AB，AC，AB＋AC，2AB＋AC.思路点拨：直接利用平面向量的坐标运算求解．[解] A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，∴AB＝(3，－1)，AC＝(－3,2)，AB＋AC＝(0,1)，2AB＋AC＝(6，－2)＋＝.平面向量坐标的线性运算的方法：1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求M，N的坐标和MN的坐标．[解]因为A(－2,4)，B(3，...
