2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学习目标核心素养1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．(重点)3．会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)1．通过学习向量的正交分解，培养学生的数学抽象核心素养．2．通过向量的直角坐标运算提升学生的数学运算核心素养.1．向量的正交分解2．向量的直角坐标(1)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)．(2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则OA＝(x，y)．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．3．向量的直角坐标运算向量的加、减法设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a＝(a1，a2)，λ∈R，则λa＝(λa1，λa2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的坐标已知向量AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标思考：向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？[提示]向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同．1．已知点A(1，－3)，AB的坐标为(3,7)，则点B的坐标为()A．(4,4)B．(－2,4)C．(2,10)D．(－2，－10)A[设点B的坐标为(x，y)，由AB＝(3,7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)＝(3,7)，得B(4,4)．]2．已知a＝(1，－1)，b＝(3,0)，则3a－2b等于()A．(5,3)B．(4，－1)C．(－2，－1)D．(－3，－3)D[3a－2b＝3(1，－1)－2(3,0)＝(3，－3)－(6,0)＝(－3，－3)．]3．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.－1[易得AB＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等得解得x＝－1.]平面向量的坐标表示【例1】(1)已知A(3,1)，B(2，－1)，则BA的坐标是()A．(－2，－1)B．(2,1)C．(1,2)D．(－1，－2)(2)已知AB＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为()A．(1,8)B．(－1,8)C．(3,2)D．(－3,2)(3)如图，在正方形ABCD中，O为中心，且OA＝(－1，－1)，则OB＝________；OC＝________；OD＝________.[思路探究]→→(1)C(2)B(3)(1，－1)(1,1)(－1,1)[(1)BA＝OA－OB＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)．(2)设B的坐标为(x，y)，AB＝(x，y)－(－2,5)＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，所以解得所以点B的坐标为(－1,8)．(3)如题干图，OC＝－OA＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以OB＝(1，－1)，同理OD＝(－1,1)．]求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．1．已知点A(2,4)，a＝(3,4)，且AB＝2a，则点B的坐标为________．(8,12)[设B点坐标为(x，y)，则(x－2，y－4)＝2(3,4)＝(6,8)，∴，解得所以B点的坐标为(8,12)．]平面向量的坐标运算【例2】(1)设AB＝(2,3)，BC＝(m，n)，CD＝(－1,4)，则DA＝()A．(1＋m,7＋n)B．(－1－m，－7－n)C．(1－m,7－n)D．(－1＋m，－7＋n)(2)已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是()A.B.C.D．(8,1)(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB＋2BC，BC－AC的坐标．[思路探究](1)可利用向量加法的三角形法则将DA分解为DC＋CB＋BA来求解．(2)可借助AB＝OB－OA来求AB坐标．(3)可利用AB＝(xB－xA，yB－yA)来求解．(1)B(2)A[(1)DA＝DC＋CB＋BA＝－CD－BC－AB＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)＝(－1－m，－7－n)．(2)AB＝(OB－OA)＝＝(－8,1)＝，∴AB＝.](3)解： AB＝(－2,10)，BC＝(－8,4)，AC＝(－10,14)，∴AB＋2BC＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－...
