2.2.2向量减法运算及其几何意义学习目标核心素养1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点)2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)1.类比数的运算给出向量减法的三角形法则，培养了学生的数学抽象素养.2.通过加法进行向量的减法的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理能力.1．相反向量(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝0.②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.③零向量的相反向量仍是零向量．2．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)作法：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示．3．|a|、|a±b|与|b|三者之间的关系||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反A[由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A.]2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.AC－AB＝BCB.AD－BD＝ABC.BD－AC＝BCD.BD－CD＝BCC[如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，BD－AC＝AD－AB－(AB＋AD)＝－2AB≠BC，故选C.]3．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于()A.QPB.OQC.SPD.SQB[原式＝(OP＋PQ)＋(PS＋SP)＝OQ＋0=OQ.]4．如图，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，用a，b表示向量AC，BD，则AC＝________，BD＝________.a＋bb－a[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC＝a＋b，BD＝b－a.]向量减法的几何意义【例1】(1)如图所示，四边形ABCD中，若AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将DC向AB，BC，AD转化；(2)利用几何意义法与定义法求出a＋b－c的值．(1)A[DC＝AC－AD＝(AB＋BC)－AD＝a＋c－b.](2)[解]法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c.法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作BC＝－c，连接OC，则OC＝a＋b－c.图①图②求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[跟进训练]1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.[解]法一：先作a－b，再作a－b－c即可．如图①所示，以A为起点分别作向量AB和AC，使AB＝a，AC＝b.连接CB，得向量CB＝a－b，再以C为起点作向量CD，使CD＝c，连接DB，得向量DB.则向量DB即为所求作的向量a－b－c.图①图②法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.(1)作AB＝－b和BC＝－c；(2)作OA＝a，则OC＝a－b－c.向量减法的运算及简单应用【例2】(1)如图所示，①用a，b表示DB；②用b，c表示EC.(2)化简下列各向量的表达式：①AB＋BC－AD；②(AB－CD)－(AC－BD)；③(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．[解](1) BC＝a，CD＝b，DE＝c.①DB＝CB－CD＝－BC－CD＝－a－b.②EC＝－CE＝－(CD＋DE)＝－b－c.(2)①AB＋BC－AD＝AC－AD＝DC.②(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.③(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)＝(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0.[一题多解](2)②法一：(加法法则)原式＝AB－CD－AC＋BD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0；法二：减法法则(利用相反向量)原式＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0；法三：减法法则(创造同一起点)原式＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA...
