2.2.1向量加法运算及其几何意义学习目标核心素养1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点)3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)1.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升了学生的直观想象和数学建模的核心素养.2.对比数的加法，给出了向量的加法运算律，培养学生的数学运算的核心素养.1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定＝a＋0＝a．2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量AC＝a＋b.思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示]不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a．(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．下列各式不一定成立的是()A．a＋b＝b＋aB．0＋a＝aC．AC＋CB＝ABD．|a＋b|＝|a|＋|b|D[A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]2.CB＋AD＋BA等于()A．DBB．CAC．CDD．DC1C[CB＋AD＋BA＝CB＋BA＋AD＝CD.]3．如图，在平行四边形ABCD中，DA＋DC＝．DB[由平行四边形法则可知DA＋DC＝DB.]4．小船以10km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h，则小船实际航行速度的大小为km/h.20[根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为＝20(km/h)．]向量加法的三角形法则和平行四边形法则[探究问题]1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An的运算结果是什么？提示：将三角形法则进行推广可知A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.【例1】(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：①AB＋DF＝；②AD＋FC＝；③AD＋BC＋FC＝．(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b；②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.甲乙思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．(1)①AC②AB③AC[如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运2算法则可知：①AB＋DF＝AB＋BC＝AC.②AD＋FC＝AD＋DB＝AB.③AD＋BC＋FC＝AD＋DF＋FC＝AC.](2)[解]①首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，则向量OB＝a＋b.如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b，则得向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD＝OA＋OB＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE＝OD＋OC＝a＋b＋c即为所求．1．在本例(1)条件下，求CB＋CF.[解]因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以CB＋CF＝CD.2．在本例(1)图形中求作向量DA＋DF＋CF.[解]过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，则DA＋DF＝DG，作GH＝CF，连接DH，则DH＝DA＋DF＋CF，如图所示．1．向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．(2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则...
