高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 章末小结讲义（含解析）湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学教案VIP免费

第2章圆锥曲线与方程1．圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)；②双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；③抛物线方程为x2＝2py(p≠0)或y2＝2px(p≠0)．2．椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．4．求曲线的方程求曲线方程的常用方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．曲线方程的求法[例1]设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．[解]法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中点B的轨迹方程为2＋y2＝(去掉原点)．法二(几何法)：设B点坐标为(x，y)，由题意知CB⊥OA，OC的中点记为M，如法一中图，则|MB|＝|OC|＝，故B点的轨迹方程为2＋y2＝(去掉原点)．法三(代入法)：设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，由题意得即又因为(x1－1)2＋y＝1，所以(2x－1)2＋(2y)2＝1.即2＋y2＝(去掉原点)．法四(交点法)：设直线OA的方程为y＝kx，当k＝0时，B为(1,0)；当k≠0时，直线BC的方程为：y＝－(x－1)，直线OA，BC的方程联立消去k即得其交点轨迹方程：y2＋x(x－1)＝0，即2＋y2＝(x≠0,1)，显然B(1,0)满足2＋y2＝，故2＋y2＝(去掉原点)为所求．(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．1．求与圆x2＋y2＝1外切，且和x轴相切的动圆圆心M的轨迹方程．解：设两圆的切点为A，M的坐标为(x，y)，圆M与x轴相切于点N，∴|AM|＝|MN|，|MO|－1＝|MN|＝|y|.∴－1＝|y|.化简得：x2＝2|y|＋1.∴动圆圆心M的轨迹方程为x2＝2|y|＋1.2．已知定点A(4,0)和圆x2＋y2＝4上的动点B，点P分AB之比为AP∶PB＝2∶1，求点P的轨迹方程．解：设点P的坐标为(x，y)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意得AP＝2PB，即(x－4，y)＝2(x0－x，y0－y)，∴即代入圆的方程x2＋y2＝4，得2＋＝4，即2＋y2＝.∴所求轨迹方程为2＋y2＝.圆锥曲线的定义及性质问题[例2]已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．[解]如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)． e＝＝2，∴c＝2a.由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，...