2.4.1抛物线的标准方程学习目标核心素养1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程．(重点)2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程．(重点)3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值．(难点)1.借助抛物线标准方程的推导，培养数学运算素养．2.借助最值问题，提升直观想象与逻辑推理素养.1．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)Fx＝－y2＝－2px(p>0)Fx＝x2＝2py(p>0)Fy＝－x2＝－2py(p>0)Fy＝思考：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)B[抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8C[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]13．抛物线x＝4y2的准线方程是()A．y＝B．y＝－1C．x＝－D．x＝C[由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.]4．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．x2＝－12y[ ＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.]求抛物线的焦点及准线【例1】(1)抛物线2y2－3x＝0的焦点坐标是________，准线方程是________．(2)若抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，则抛物线的焦点坐标为________，准线方程为________．(1)x＝－(2)y＝－[(1)抛物线2y2－3x＝0的标准方程是y2＝x，∴2p＝，p＝，＝，焦点坐标是，准线方程是x＝－.(2)抛物线方程y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝y，当a>0时，则2p＝，解得p＝，＝，∴焦点坐标是，准线方程是y＝－.当a<0时，则2p＝－，＝－.∴焦点坐标是，准线方程是y＝－，综上，焦点坐标是，准线方程是y＝－.]求抛物线的焦点及准线步骤1．把解析式化为抛物线标准方程形式．2．明确抛物线开口方向．3．求出抛物线标准方程中p的值．4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程．1．求抛物线y＝－mx2(m>0)的焦点坐标和准线方程．[解]抛物线y＝－mx2(m>0)的标准方程是x2＝－y. m>0，∴2p＝，＝，焦点坐标是，准线方程是y＝.求抛物线的标准方程【例2】根据下列条件确定抛物线的标准方程．(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；(2)过点(4，－8)；(3)焦点在x－2y－4＝0上．[思路探究](1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点，应先求交点再写方程．[解](1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝，所以所求抛物线方程为x2＝－y.法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过2点，所以1＝m·(－3)，即m＝－，所以所求抛物线方程为x2＝－y.(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8)的坐标代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4·n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程．1．定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程．2．待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值．(1)对于对称轴确定，开...
