高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线的定义与标准方程讲义（含解析）湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学教案VIP免费

2．3.1抛物线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．抛物线的定义平面上到一定点F和定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程图象标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)x＝－y2＝－2px(p＞0)x＝x2＝2py(p＞0)y＝－x2＝－2py(p＞0)y＝[小问题·大思维]1．在抛物线定义中，若去掉条件“F∉l”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y2＝12x.3．若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？提示：由焦点在x轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其焦点坐标为，则＝2，故p＝4.所以抛物线的标准方程是y2＝8x.求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[自主解答](1)当抛物线的焦点在x轴上时，可设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，把点(－3,2)代入得22＝－2p×(－3)，∴p＝.∴所求抛物线方程为y2＝－x.当抛物线的焦点在y轴上时，可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，把(－3,2)代入得(－3)2＝2p×2，∴p＝.∴所求抛物线方程为x2＝y.综上，所求抛物线的方程为y2＝－x或x2＝y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，－2)，当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， ＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x，当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)， －＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y，综上，所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点”，如何求解？解：直线x－2y－4＝0与x轴的交点是(4,0)，与y轴的交点是(0，－2)，则抛物线的准线方程为x＝4或y＝－2.当准线方程为x＝4时，可设方程为y2＝－2px，则＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝－16x.当准线方程为y＝－2时，可设方程为x2＝2py，则＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝8y.综上，抛物线的标准方程为y2＝－16x或x2＝8y.求抛物线标准方程的方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值．1．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝______，准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.答案：2x＝－12．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．由抛物线的定义得|AF|＝＝5，又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程．(1)y2＝－4x；(2)2y2－x＝0.[自主解答](1) y2＝－4x，∴抛物线的焦点在x轴的负半轴上，又2p＝4，∴p＝2.∴焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x＝1.(2)由2y2－x＝0，得y2＝x.∴抛物线的焦点在x轴的正半轴上，又2p＝，∴p＝∴焦点坐标为，准线方程为x＝－.此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解p的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系．步骤：①化为标准方程；②明确开口方向；③求p值；④写焦点坐标和准线方程．3．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y＝－x2；(2)x2＝ay(a≠0)．解：(1)将抛物线方程y＝－x2变形为x2＝－8y，所以抛物线的焦点在y轴的负半轴上，又2p＝8，所以p＝4.所以焦点坐标为(0，－2)，准线方程为y＝2.(2)当a>0时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，又2p＝a，所以焦点坐标为，准线方程为y＝－；当a<0时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，又2p＝－a，所以焦点坐标为，准线...