2.2.1椭圆的标准方程学习目标核心素养1.了解椭圆标准方程的推导．(难点)2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点、易混点)3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆.1.通过椭圆标准方程的推导，培养数学运算素养．2.借助定义法求方程，提升直观想象素养.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图象焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系a2＝b2＋c21．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋x2＝1A[由题意知c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.]2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1C[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.]3．设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为()A．9B．13C．15D．18D[由题意得△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋8＝18.]4．椭圆＋＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于2，那么点P到另一个焦点的距离等于________．2[由椭圆的方程可知a2＝4，所以a＝2.由椭圆的定义可得点P到另一个焦点的距离等于2a－2＝4－2＝2.]1求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1.故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得因为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0，2)和B，求椭圆的标准方程．[解]设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，将A，B两点坐标代入方程得解得∴所求椭圆方程为x2＋＝1.椭圆中的焦点三角形问题【例2】(1)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．2(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．[思路探究](1)→→(2)→→→(1)120°(2)[(1)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝.∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.②由①②联立可得|PF1|＝.所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝.]1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．2．(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是_________．...
