学而思高中完整讲义：空间向量与立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(2).学生版典例分析【例1】关于空间向量的四个命题中正确的是（）A．若，则、、三点共线B．若，则、、、四点共面C．为直角三角形的充要条件是D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底【例2】在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有对，则（）A．B．C．D．【例3】已知正方体中，，若，则，．【例4】空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则_______．（用向量来表示．）．【例5】棱长为的正四面体中，的值等于．【例6】已知空间四边形，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则_______________．【例7】平行六面体中，为和的交点，设，化简：①；②；③；④．【例8】设是空间不共面的四点，且满足，则用心爱心专心1（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．三种都有可能DCBA【例9】已知空间四边形中，，，求证：．DCBA【例10】如图，在空间四面体中，、、、分别为边、、、的中点，化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：DNMQPCBA⑴；⑵；⑶．【例11】已知和是非零向量，且==，求与的夹角．【例12】已知两个非零向量不共线，如果，，，用心爱心专心2求证：共面；【例13】已知三点不共线，对空间中一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？【例14】设四面体的对边，的中点分别为，；，的中点分别为，；，的中点分别为，时，试证明三线段，，的中点重合．UVSRQPBCAO【例15】已知斜三棱柱，设，在面对角线和棱上分别取点和，使得，求证：与向量共面．【例16】如图所示，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：⑴；⑵；⑶；⑷．【例17】已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：⑴；⑵；⑶．用心爱心专心3GMDCBA【例18】已知三棱锥，，，，，，、分别是棱、的中点，求：直线与所成角的余弦值．【例19】已知是边长为的正三角形所在平面外一点，且，，分别是，的中点，求异面直线与所成角的余弦值．【例20】已知平行六面体，如图，在面对角线，上分别取点，，使，，记，，，⑴若，用基底表示向量、、、．⑵求证：向量与向量，共面．NMD'C'B'A'DCBA【例21】已知三个非零向量不共面，，，，求证：这三个向量共面；【例22】设点为空间任意一点，点是空间不共线的三点，又点满足等式：，其中，求证：四点共面的充要条件是．【例23】如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值．用心爱心专心4CBAO【例24】如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别是对角线的中点．求证：平面．NMFEDCBA【例25】已知三点不共线，对空间中一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？【例26】如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量．GCBANMO【例27】如图，在四面体中，分别为边的中点，为的重心．⑴求证：．⑵记，，，用基底表示向量、、．用心爱心专心5DGNMQPCBA【例28】在的二面角的棱上，有两点，线段、分别在二面角的两个面内，且都垂直于，已知，，．⑴求的长度；⑵求与平面所成的角．EDCBA用心爱心专心6
