学而思高中完整讲义：直线.板块五.直线中的对称问题.学生版1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①，焦点是，，且．②，焦点是，，且．3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：⑴范围：，；⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．My=-by=bx=-ax=aB2B1A2A1cbaF2F1Oyx4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去）得：．若，，相交；相离；相切．若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛物线，则与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，用心爱心专心1然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为．两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．典例分析【例1】若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则的取值范围是_______【例2】过双曲线的右焦点直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有_____条【例3】过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______【例4】直线与双曲线相交于两点、，则=_________．【例5】若直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．【例6】若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的的值．【例7】若直线与双曲线有两个相异公共点，求的取值范围．用心爱心专心2【例8】直线与双曲线的一支有两个相异公共点，求的取值范围．【例9】若直线与双曲线的两支各有一个公共点，求的取值范围．【例10】若直线与双曲线的右支有两个相异公共点，求的取值范围．【例11】已知不论取何实数，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围．【例12】直线与双曲线交于、两点．①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以为直径的圆过坐标原点？【例13】已知直线与双曲线相交于两个不同点、．①求的取值范围；②若轴上的点到、两点的距离相等，求的值．【例14】已知直线与双曲线，记双曲线的右顶点为，是否存在实数，使得直线与双曲线的右支交于两点，且，若存在，求出值：若不存在，请说明理由．【例15】已知点，，动点满足条件，记动点的轨迹为．⑴求的方程；⑵若、是曲线上不同的两点，是坐标原点，求的最小值．【例16】直线与双曲线的右支交不同的，两点，⑴求实数取值范围；⑵是否存在实数，使得以线段直径的圆经过双曲线的右焦点．若存在，求出值：若不存在，请说明理由．【例17】双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．⑴求双曲线的方程；⑵设直线：与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点．用心爱心专心3【例18】已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过其右焦点且倾斜角为的直线被双曲线截得的弦的长为．⑴求此双曲线的方程；⑵若直线与该双曲线交于两个不同点、，且以线段...
