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高中数学 回归直线方程的推导教案 新人教A版选修2-3VIP免费

高中数学 回归直线方程的推导教案 新人教A版选修2-3_第1页
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回归直线方程的推导设x与y是具有线性相关关系的两个变量,且相应于样本的一组观测值的n个点的坐标分别是:112233(,),(,),(,),,(,)nnxyxyxyxy,下面给出回归方程的推导。设所求的回归方程为ˆybxa,其中,ab是待确定的参数,那么:ˆiiybxa,(1,2,3,,in),样本中各个点的偏差是ˆ()iiiiyyybxa,(1,2,3,,in)显然,上面的各个偏差的符号有正、有负,如果将他们相加会相互抵消一部分,,因此他们的和不能代表n个点与回归直线在整体上的接近程度,而是采用n个偏差的平方和Q来表示n个点与相应直线(回归直线)在整体上的接近程度。即2211ˆ()()nniiiiiiQyyybxa=2222112233()()()()nnybxaybxaybxaybxa求出当Q取最小值时的,ab的值,就求出了回归方程。(一)先证明两个在变形中用到的公式:公式(1)22211()nniiiixxxnx其中12nxxxxn因为2222121()()()()ninixxxxxxxx=22221212()2nnxxxxxxnxnxn=222212()2nxxxnxnx=22212()nxxxnx=221niixnx所以22211()nniiiixxxnx公式(2)11()()nniiiiiixxyyxynxy因为11221()()()()()()()()niinnixxyyxxyyxxyyxxyy=11221122()()nnnnxyxyxyxyyxxyyxxyyxnxy=12121[()()]niinnixyxxxyyyyxnxy1=12121()()[]nnniiixxxyyyxynyxnxynn=12niiixynxynxy=1niiixynxy所以11()()nniiiiiixxyyxynxy(二)推导:将Q的表达式的各项先展开,再合并、变形2222112233()()()()nnQybxaybxaybxaybxa22212112222212()[2()2()2()][()()()]nnnnyyyybxaybxaybxabxabxabxa-----展开222211111222nnnnniiiiiiiiiiiybxyaybxabxna-----以a,b为同类项,合并2222111112()2nniinnniiiiiiiiiyxnanabbxbxyynn--以a,b的次数为标准整理22221112()2nnniiiiiiinanaybxbxbxyy--将数据转化为平均数,xy22222111[()]()2nnniiiiiiinaybxnybxbxbxyy---配方法2222222111[()]22nnniiiiiiinaybxnynbxynbxbxbxyy---展开222222111[()]()2()()nnniiiiiiinaybxbxnxbxynxyyny---整理2222111[()]()2()()()nnniiiiiiinaybxbxxbxxyyyy-----用公式(一)、(二)变形222212111()()[()]()[2]()()niinniiiniiiixxyynaybxxxbbyyxx---配方22222211221111()()[()()][()]()[]()()()nniiiinniiiinniiiiiixxyyxxyynaybxxxbyyxxxx在上式中,共有四项,后两项与a,b无关,为常数;前两项是两个非负数的和,因此要使得Q区的最小值,当且仅当前两项的值都为0。所以121()()()niiiniiaybxxxyybxx或121niiiniiaybxxynxybxnx------用公式(一)、(二)变形得(三)总结规律:上述推倒过程是围绕着待定参数a,b进行的,只含有,iixy的部分是常数或系数,用到的方法有(1)配方法,有两次配方,分别是a的二次三项式和b的二次三项式;(2)变形时,用到公式(一)、(二)和整体思想;(3)用平方的非负性求最小值。(4)实际计算时,通常是分步计算:先求出,xy,再分别计算1()()niiixxyy,21()niixx或1niiixynxy,21niixnx的值,最后就可以计算出a,b的值。小练习:(1)验证当样本数据只有两个点时的回归方程;(2)当样本数据有三个点,是(11,xy),(22,xy),(33,xy)时,试推导回归方程。3

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