空间直线(3)第三课时教学目标:1．巩固复习异面直线，异面直线所成的角及异面直线间的距离等概念2．会根据概念求异面直线所成的角以及两条异面直线间的距离．教具准备：投影仪（胶片）、三角板．教学过程：［复习引入］（1）空间两直线的位置关系，公理4．（2）异面直线的概念．（3）异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．（4）空间等角定理及推论．［探索研究］例1如图1，已知平面，，，，，求证：和是异面直线．图1证明：（反证法）假设、在同一平面内．∵、、既在内又在内，且、、三点不共线．∴与重合．又、、既在内又在内．同理，与重合．∴与重合．但这与已知相矛盾，所以假设不成立．故与是异面直线．例2如图2，在正方体中，为上底面中心，求下列异面直线所成的角：（1）与；（2）与；（3）与．如图2用心爱心专心115号编辑解：（1）平移到，则为所求．而为等边三角形，∴（2）平移到（分别为与的中点，）用公理4证明，从而，再证，得证为平行四边形，进而发现是菱形，设与交点，则与所成的角为所求∵∴与所成角为．（3）平移到，则为所求，解，此三角形为等腰三角形（∵），，．∴．例3如图3，空间四边形边长均为，连对角线、，且，、分别为、的中点．（1）证明：是异面直线、的公垂线；（2）求异面直线与的距离解：（1）连、，由题设，知，∴在等腰中，是的中线，∴．同理可证，．∴与异面直线、相交且垂直，即是异面直线与的公垂线．图3（2）在中，，∴．因此，与间的距离为．［演练反馈］1．如图4，在正方体中，、分别为、上的点，且，求与所成角的余弦值．用心爱心专心115号编辑图4图52．如图5，是异面直线上的点，线段，为的中点，为的中点，，求异面直线所成角的余弦值．3．如图6，在空间四边形中，，分别是和的中点，求异面直线和所成角的余弦值．图6［参考答案］1．提示：在棱上取，取中点，连结，用公理4证明出，得为平行四边形，从而，再由得到（公理4），则即为所求，最后用余弦定理的．2．提示：取中点，连，易证，．则与所成的角即为所求，在中用余弦定理算出，而与所成的角为的补角，所以结果应为．3．提示：连结，取其中点，连、，则，∴（或其补角）为异面直线与所成的角，在中，，，，，∴，即异面直线和所成角的余弦值为．［总结提炼］在作异面直线所成的角时，顶点往往选择在其中一条直线上，而且常常是该线段的端点或中点，在构成角的过程中，常常让其中一条线不动，另一条线沿着某个平面滑动（平移），直到两线相交，在计算异面直线所成的角时，要注意按“作→证→算”的步骤来进行．用心爱心专心115号编辑（四）布置作业1．和两异面直线都垂直的直线（）A．不一定存在B．仅有一条C．有两条D．有无数条2．空间四边形的各边长均为且对角线，分别是的中点，求与所成的角．3．在棱长为的正方体中，（1）求与所成的角；（2）若分别是的中点，求与所成角的余弦值；（3）与的距离．［参考答案］1．D2．3．略解：（1）为与的夹角，在中，，∴．（2）取中点，连，则，∴为所求，在中，，．（3）．（五）板书设计例1例3练习例2用心爱心专心115号编辑
