研究性课题：多面体欧拉公式的发现(1)教学目的：1．简单多面体的V、E、F关系的发现；2．欧拉公式的猜想五种；3．欧拉公式的证明教学重点：欧拉公式的发现教学难点：欧拉公式的证明教学过程：(一)课题导入瑞士著名数学家欧拉，是数学史上的最多产的数学家，他毕和从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化:f(x)---函数；e---自然对数的底数；a,b,c---△ABC的三边等．数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等。其中欧拉公式eiπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V-E+F=2(V、E、F分别表示多面体的顶点、棱和面数。今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，热烈讨论积极交流。(二)讲授新课1．填表、观察、找规律（1）填表：先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F及棱数E，填入表1（P56）；（2）观察：继续观察表1的各组数据，试找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？（3）分析：（学生讨论）问题1：表1中多面体的面数F都随顶点数V的增大而增大吗？试举例说明。（八面体和立方体，棱的数目也并不随顶点数目的增大面增大）问题2：请大家积极观察，勇于发言，从表中还发现了其他的什么规律？举例说明。甲：当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律。如图（1）和（2）的棱数由6增大到12，面数由4增大到6，此时的顶点数也在随棱数的增加而增加，即由4增大到8。已：顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的。我认为：当顶点数随棱数的增加而减小时，它的面数一定是随棱数的增加而增加的；当面数随棱数的增加而减小时，它的顶点数却是随棱数的增加而增加。问题3：生已归纳得如何？大家对他的叙述同意吗？（可能会有其他想法，给学生充分的时间，让他们畅所欲言，表达他们的新发现，并一一指导。）2．猜想问题4：上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数，即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系？（V+F–E=2）3．验证问题4：以上同学们得到的V+F–E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证。（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）丙；一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形，一个立方体截去一个角所得的图形等。问题5：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？丁：所得的多面体的棱数E=3n，顶点数V=2n,面数F=2+n，经验证也成立。问题6：观察P57图（1）、（2）、（3），将所得数据填入表2中，并观察这些图形的数据是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？（（1）符合;（2）,（3）不符合）问题7：一起来高想教材问题1和问题2中的图，在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长，有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形。那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？用心爱心专心115号编辑（教材问题1中的所有图形，问题2中的（1）可以）问题8：设想问题2中的（2）（3）在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？问题9：在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体，请大家判断我们前面学的图形哪些是简单多面体？4．证明问题10：在教材问题1，2，31的基础上，我们是否可以得到什么猜想，怎样用式子表达？（欧拉公式：V+F–E=2）问题11：教材上的三个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F–E=2的过程，那么如何证明欧拉公式？（请看教材P58）（三）练习：P61练习1，2（四）小结我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式V+F–E=2的过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论解决。作业：P61：习题1，2用心爱心专心115号编辑
