高中数学 第2章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式（教师用书）教案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学教案VIP免费

第2课时直线方程的两点式和一般式学习目标核心素养1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(重点)2.了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系．(难点)1.通过学习直线方程的两点式、截距式和一般式方程培养数学抽象素养.2.通过求解直线的方程及几种方程之间的互化提升数学运算素养.1．直线方程的两点式设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上的任意两点．(1)两点满足的条件：x1≠x2且y1≠y2.(2)形式：＝.思考1：直线的两点式方程是否表示所有直线？提示：直线的两点式方程不表示平行于坐标轴的直线．2．直线方程的截距式(1)形式：＋＝1.(2)a，b的几何意义：a为直线在x轴上的截距；b为直线在y轴上的截距．思考2：直线方程的截距式是否可以表示所有的直线？提示：直线方程的截距式不表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线．3．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．1．过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线方程的两点式是()A.＝B.＝C.＝D.＝B[代入两点式方程，得＝，故B正确．]2．已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________．＋＝1[由直线方程的截距式，得＋＝1.]3．直线2x＋3y－6＝0的斜率是________，倾斜角是________(填“零”“锐”“直”或“钝角”)，在y轴上的截距是________，截距式方程是________．－钝角2＋＝1[将方程化为斜截式得y＝－x＋2，∴斜率k＝－，倾斜角为钝角，在y轴上的截距为2，化为截距式方程为＋＝1.]直线方程的两点式和截距式方程【例1】求满足下列条件的直线方程．(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．[解](1)由两点式得＝，化简得2x＋3y－5＝0.(2)由截距式得＋＝1，化简为5x－4y－20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1.因为直线过点P(2,3)，所以＝1，即a＝5.直线方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.1．已知直线上的两点坐标．应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解．2．若已知直线在x轴，y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便．[跟进训练]1．(1)直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________；(2)过点(0，－3)和(2,0)的直线的截距式方程为________；(3)过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．(1)x－y＋3＝0(2)＋＝1(3)＋＝1[(1)将(－1,2)和(2,5)代入＝，得＝，即＝，∴直线l的方程为x－y＋3＝0.(2)因为直线在x轴，y轴上的截距分别为2，－3，由直线方程的截距式，得方程为＋＝1.(3)设方程的截距式为＋＝1，则由题意得解得所以直线方程为＋＝1.]直线方程的一般式【例2】设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为－1；(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.[解析](1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.(2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.1．一般式化为斜截式的步骤：(1)移项得By＝－Ax－C；(2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.2．一般式化为截距式的步骤：方法一：(1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；(2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；(3)化为截距式：＋＝1.方法二：(1)令x＝0求直线在y轴上的截距b；(2)令y＝0求直线在x轴上的截距a；(3)代入截距式方程＋＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，不会将一般式化为两点式和点斜式．[跟进训练]2．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是()A．3x＋4y＋7＝0B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0D．3x＋4y－42＝0B[将一般式化为斜截式，斜率为－的有B，C两项．又y＝－x＋14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确．]直线方程的综合应用[探究问题]1．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，能否得出不论a为何值，直线l...