2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算学习目标核心素养1．掌握平行向量基本定理并理解两向量共线的条件及单位向量的含义．(重点)2．理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式，并解决轴上的相关问题．(难点)1．通过平行向量基本定理及单位向量的学习，培养学生的数学运算和逻辑推理素养．2．借助向量的坐标及平行向量基本定理的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.(2)单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知：a＝|a|a0或a0＝.2．轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a＝xe.反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量a＝xe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致．单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量)．(2)x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．(3)向量相等与两个向量的和：设a＝x1e，b＝x2e，于是：如果a＝b，则x1＝x2；反之，如果x1＝x2，则a＝b；另外，a＋b＝(x1＋x2)e，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(4)向量AB的坐标常用AB表示，则AB＝ABe.AB表示向量，而AB表示数量，且有AB＋BA＝0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB＝x2－x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则|AB|＝|x2－x1|.思考：在平行向量基本定理中，为什么要求b≠0?[提示]若b＝0，则0∥a，但是λ0＝0，从而a＝λb中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.1．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是()A.AB的坐标是2B.CA＝－3ABC.CB的坐标是4D.BC＝2ABC[CB的坐标为1－5＝－4，故C项不正确．故选C.]2．以下选项中，a与b不一定共线的是()A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2C[选项A，b＝－2a；选项B，b＝a；选项D，b＝－a.只有选项C中a与b不共线．]3．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则λ＝________.－[由题意可得存在实数k，使得b＝ka，则e1＋λe2＝2ke1－ke2，∴⇒]轴上向量的坐标及其运算【例1】已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.(1)若AC＝5，求c的值；(2)若|BD|＝6，求d的值；(3)若AC＝－3AD，求证：3CD＝－4AC.[思路探究]据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解．[解](1) AC＝5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.(2) |BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，∴d＝4或d＝－8.(3)证明：因为CD＝CA＋AD＝－AC＋AD，而AC＝－3AD，所以CD＝－(－3AD)＋AD＝4AD，所以3CD＝12AD，又－4AC＝－4×(－3AD)＝12AD，故3CD＝－4AC.正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.1．已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，求AB，BA的坐标和长度．(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.[解](1) x1＝2，x2＝－5.3，∴AB＝－5.3－2＝－7.3，BA＝2－(－5.3)＝7.3.∴|AB|＝7.3，|BA|＝7.3.(2)同理AB＝10.5，BA＝－10.5.|AB|＝10.5，|BA|＝10.5.用平行向量基本定理证明几何问题【例2】已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF∥AB∥DC.[思路探究]解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证．[证明]延长EF到M，使EF＝FM，连接CM，BM...
