2.2.2函数的奇偶性学习目标核心素养1.了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征.2.会判断函数的奇偶性．(重点)3.掌握函数奇偶性的运用．(难点)通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．3．奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．4．奇、偶函数的图象性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称．()(2)偶函数的图象一定与y轴相交．()(3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数．()(4)奇函数的图象一定过(0,0)．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．若f(x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝________.－3[易知a－2＋5＝0，∴a＝－3.]3．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于________．－10[f(－2)＝2，∴－8a－2b－4＝2，∴8a＋2b＝－6，∴f(2)＝8a＋2b－4＝－10.]函数奇偶性的判断【例1】(1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)为________函数．(填“奇”或“偶”或“非1奇非偶”)(2)判断下列函数的奇偶性．①f(x)＝；②f(x)＝＋；③f(x)＝＋.思路点拨：(1)观察图象的对称性．(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(－x)的关系．(1)偶[因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．](2)[解]①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．②定义域要求所以－1≤x＜1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．③由得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f(±2)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．1．判断下列各函数的奇偶性．(1)f(x)＝(x－2)；(2)f(x)＝[解](1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)当x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；2当x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，f(－x)＝－x＋2＝f(x)；当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，因此f(x)是偶函数.已知函数奇偶性求解析式【例2】(1)已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x(1＋x)，求f(x)；(2)若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值．思路点拨：(1)已知x<0时的解析式，用奇偶性求x>0的解析式，应通过(－x)进行过渡，但别忽视x＝0的情况；(2)应用偶函数满足f(－x)＝f(x)．[解](1) f(x)为R上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，∴f(－x)＝x(1－x)． f(x)为R上的奇函数，∴－f(x)＝x(1－x)，∴f(x)＝－x(1－x)．综上可知，f(x)＝(2) f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，∴2(m－1)x＝0. x∈R，∴m－1＝0，得m＝1.1．(变条件)若将(1)中的“奇函数”改为“偶函数且f(0)＝0”，求f(x)．[解]设x∈(0，＋∞)，则－x∈(－∞，0)，∴f(－x)＝－(－x)[1＋(－x)]＝x(1－x)．又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x(1－x)，x∈(0，＋∞)．∴f(x)＝2．(变条件)若(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，求m的值．[解]f(0)＝3，f(0)≠0，无解．1．本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．3奇偶函数的单调性[探究问题]1．观察图中...
