第2课时函数的最大值、最小值学习目标核心素养1.理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点)2.会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)通过学习本节内容，培养学生的直观想象和逻辑推理素养.1．函数的最大值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．2．函数的最小值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．思考：函数的最值与值域是一回事吗？[提示]不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为1.()(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M.()(3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞.()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)×.因为在定义域内找不到x使得x2＝－1成立．(2)×.因为“无数”并非“所有”，故不正确．(3)×.“＋∞”不是一个具体数．2.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是_________．[答案]－13．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值是____________．3[根据函数图象可知，f(x)的最大值为3.]4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是__________．[答案]45．函数y＝在[2,6]上的最大值与最小值之和等于__________．[函数y＝在区间[2,6]上是减函数，当x＝2时取得最大值，当x＝6时取得最小值，＋＝.]1利用图象求函数的最值【例1】求函数y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值．思路点拨：先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．[解]原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝图象如图．故函数的最小值为3，最大值为7.用图象法求最值的一般步骤(1)已知函数f(x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________.(2)函数f(x)＝的最大值是________．(1)1(2)3[(1)f(x)＝在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f(1)＝2，B＝f(2)＝1，∴A－B＝1.(2)作出f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3.]利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x)＝.(1)用函数单调性定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上是单调减函数；(2)求函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值与最小值．思路点拨：(1)利用单调性的定义证明．2(2)利用(1)的结论求最值．[解](1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且10，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．故函数f(x)＝在(1，＋∞)上为单调递减函数．(2)由上述(1)可知，函数f(x)＝在[3,4]上为单调递减函数，所以在x＝3时，函数f(x)＝取得最大值；在x＝4时，函数f(x)＝取得最小值.(变条件)求函数f(x)＝在[－4，－3]上的最值．[解]任取x1，x2∈[－4，－3]且x10，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[－4，－3]上单调递减，∴f(x)max＝f(－4)＝，f(x)min＝f(－3)＝，∴f(x)在[－4，－3]上最大值为，最小值为.1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．2．函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．二次函数求值域[探究问题]1.如图是函数f(x)＝(x－1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，和[0,3]时，f(x)的单调性．3[提示]f(x)在[－1,0]上单调递减；在上单调递增；在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．2．结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f(x)的最值．[提示]结合图象的单调性，可得x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(0)＝0.x∈时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f＝－.x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f(1...
