高中数学 第2章 函数 2.1.2 函数的表示方法讲义 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学教案VIP免费

2.1.2函数的表示方法学习目标核心素养1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2.了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)通过学习本节内容进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)有些函数能用三种方法来表示．()[答案](1)×(2)×(3)√2．若函数f(x)＝则f(x)的定义域为______，值域为________．{x|x≠0}{y|y>－1}[定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>－1，∴值域为{y|y>－1}．]3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f(x)．[解]列表法：笔记本数x12345钱数y510152025解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．图象法：求函数解析式【例1】求下列函数的解析式．(1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝________.(2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.(4)设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为________．(5)若f＝x2＋，则f(x)＝________.思路点拨：(1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x－看作一个整体来求解．(1)－x＋3(2)x2－1(x≥1)(3)2x－或－2x＋1(4)f(x)＝(5)x2＋4[(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，f(2x－1)＝a(2x－1)＋b，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，所以解得即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3.(2)法一：令＋1＝t(t≥1)，则＝t－1，x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则解得或所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.(4)由题意得解得故f(x)＝(5)f＝x2＋＝＋4，∴f(x)＝x2＋4.]求函数解析式的常用方法1待定系数法：已知函数fx的函数类型，求fx的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.2换元法：令t＝gx，注明t的范围，再求出ft的解析式，然后用x代替所有的t即可求出fx，一定要注意t的范围即为fx中x的范围.3配凑法：已知fgx的解析式，要求fx时，可从fgx的解析式中拼凑出“gx”，即用gx来表示，再将解析式两边的gx用x代替即可.4代入法：已知y＝fx的解析式求y＝fgx的解析式时，可直接用新自变量gx替换y＝fx中的x.1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝________.(2)若f＝＋，则f(x)＝________.(1)x＋(2)x2－x＋1(x≠1)[(1)设f(x)＝k1x＋，则⇒∴f(x)＝x＋.(2)令t＝(t≠1)，则x＝，∴f(t)＝＋(t－1)＝t2－t＋1，∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．]分段函数【例2】已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f的值．思路点拨：要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解]由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.因为f＝－＋1＝－，－2<－<2，所以f＝f＝＋2×＝－3＝－.1．(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．[解]①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去．②当－2