高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.6 曲线与方程 2.6.3 曲线的交点讲义（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

2．6.3曲线的交点给出下列两组直线，回答问题．(1)l1：x＋2y＝0，l2：2x＋4y－3＝0；(2)l1：2x－y＝0，l2：3x＋y－7＝0.问题1：两组直线的位置关系．提示：(1)平行；(2)相交．问题2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定．第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系．问题3：如何求两曲线的交点坐标．提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标．已知曲线C1：f1(x，y)＝0和C2：f2(x，y)＝0.(1)P0(x0，y0)是C1和C2的公共点⇔(2)求两曲线的交点，就是求方程组的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行，两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴平行，两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与圆锥曲线的位置关系[例1]已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C有惟一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点．[思路点拨]直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．[精解详析]将直线与双曲线方程联立消去y，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0且Δ＜0，即k＜－或k＞时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，显然方程①只有一解．当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±时，方程①只有一解．故当k＝±或k＝±时，l与C有惟一公共点．(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，即－＜k＜，且k≠±时，方程有两解，l与C有两个公共点．[一点通]直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两个点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相交于一个点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．1．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．解：由消去y得＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当－0，直线与椭圆相交；当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．2．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：(1)当k＝0时，直线l与x轴平行，易知与抛物线只有一个交点．(2)当k≠0时，联立消去x，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，Δ＝16－4k×4(2k＋1)．①当Δ＝0，即k＝－1或时，直线l与抛物线相切，只有一个公共点；②当Δ>0，即－1时，直线l与抛物线相离，没有公共点．综上：当k＝－1或或0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当－1时，直线l与抛物线没有公共点．直线被圆锥曲线截得的弦长问题[例2]已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长．[思路点拨]先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A、B坐标间的联系，进行整体运算．[精解详析]法一： 直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2.∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由方程组得交点A(0，－2)，B.则AB＝＝＝＝.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B的坐标为方程组的公共解．对方程组消去y，得3x2－5x＝0.则x1＋x2＝，x1·x2＝0.∴AB＝＝＝＝＝.法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得3x2－5x＝...