高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用（教师用书）教案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学教案VIP免费

第2课时组合的综合应用学习目标核心素养1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.组合数的两个性质【例1】计算：(1)C＋C＋C＋…＋C；(2)(C＋C)÷A.[思路点拨](1)利用组合数的公式及性质，逐一进行证明或计算．(2)中排列数公式和组合数公式的综合运用．[解](1)C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋C＋…＋C－1＝…＝C－1＝329.(2)(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷A＝.组合数公式C＝体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式C＝的主要作用有：1计算m，n较大时的组合数；2对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.,特别地，当m>时计算C，用性质C＝C转化，减少计算量.[跟进训练]1．解方程C＝C.[解]由原方程及组合数性质可知3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)，解得n＝8或n＝2.而当n＝8时，3n＋6＝30>18，不符合组合数的定义，故舍去．因此n＝2.有限制条件的组合问题【例2】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．[解](1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825种．或采用排除法有C－C＝825种．(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966种．(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C种；第二类：女队长不当选，有C·C＋C·C＋C·C＋C种．故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种．在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？[解]分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C＋C＝660种选法．所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1122种．常见的限制条件及解题方法1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．[跟进训练]2．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[解](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C·C种选法；②选3名外科专家，共有C·C种选法；③选4名外科专家，共有C·C种选法；根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：C－C·C－C＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C种选法；②有1名外科专家参加，有C·C种选法；③有2名外科专家参加，有C·C种选法．所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法.分组(分配)问题[探究问题]1．把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？[提示]共1种分法．因为三堆无差异．2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？[提示]共有A＝3×2×1＝6种分法．【例3】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，...