高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式（教师用书）教案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学教案VIP免费

1.2.2组合第1课时组合与组合数公式学习目标核心素养1.理解组合与组合数的概念．(重点)2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)1.通过学习组合与组合数的概念，体现了数学抽象的素养.2.借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养.1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．思考1：怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示](1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？[提示]同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.3．组合数公式及其性质(1)公式：C＝＝.(2)性质：C＝C，C＋C＝C.(3)规定：C＝1.1．下面几个问题中属于组合问题的是()①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④C[①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]2．若C＝28，则n＝()A．9B．8C．7D．6B[C＝＝28，解得n＝8.]3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．3[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.]4．C＝________，C＝________.1518[C＝＝15，C＝C＝18.]写出问题的组合【例1】已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．[解]法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.法二：画出树形图，如图所示．由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏．2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．[跟进训练]1．已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．[解]可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.组合数公式的应用【例2】(1)计算C－C·A；(2)计算C＋C.[思路点拨]解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件．[解](1)原式＝－·(3×2×1)＝210－210＝0.(2)由得n＝4或5.当n＝4时，原式＝C＋C＝5，当n＝5时，原式＝C＋C＝16.1．在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式C＝常用于n为具体数的数目，偏向于组合数的计算，公式C＝常用于n为字母的题目，偏向于解不等式或证明恒等式．2．解题时，一定不要忘记组合数的意义．[跟进训练]2．求值：C＋C.[解]由组合数的公式的性质，可得解得n＝6.所以，原式＝C＋C＝C＋C＝12＋19＝31.简单的组合问题【例3】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男...