§6垂直关系6．1垂直关系的判定学习目标核心素养1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义．(重点)2．掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直．(重点、难点)3．了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．(重点、易错点)1.通过应用判定定理证明空间中的垂直关系，提升逻辑推理素养．2．通过求解二面角的大小培养直观想象数学运算素养.1．直线与平面垂直的概念及判定定理(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图所示．(3)直线与平面垂直的判定定理：文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言若直线a平面α，直线b平面α，直线l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，则l⊥平面α思考1：若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则此直线与平面什么关系？提示：相交、垂直或在平面内．2．二面角(1)二面角的概念：①半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．③二面角的记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角αABβ.(2)二面角的平面角：文字语言以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角图形语言符号语言若α∩β＝l，OAα，OBβ，且OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB为二面角αlβ的平面角取值范围0°≤θ≤180°直二面角平面角是直角的二面角叫作直二面角思考2：二面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？提示：没关系．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直：定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直(如图)记法α⊥β(2)平面与平面垂直的判定定理：文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直符号语言若直线AB平面β，AB⊥平面α，则β⊥α思考3：若两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面有何位置关系？提示：平行、垂直、斜交．1．已知平面α及α外一直线l，给出下列命题：①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α；③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α；④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α.其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3C[根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．]2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBCD[ AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又 AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.]3．如图所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中．(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．(1)AB，BC，AC(2)BC[(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，又AP平面PAC，所以BC⊥AP.]4．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________．45°[ AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，其大小为45°.]线面垂直的判定【例1】如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.[证明] SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，求BD与平面SAC的位置关系．[解] AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.又由本例知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD⊥平面SAC.2．将本例改为：已知四棱...
