1．2.2全称量词和存在量词[读教材·填要点]1．全称量词与存在量词(1)全称量词：“任意、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学上用符号“∀”表示．(2)存在量词：“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“∃”表示．2．含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定(1)命题“∀x∈I,p(x)”的否定是“∃x∈I，綈p(x)”；(2)命题“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，綈p(x)”．[小问题·大思维]1．命题p：任何一个实数除以1等于这个数；q：等边三角形的三边都相等．它们各使用了什么量词？提示：命题p使用了全称量词“任何一个”，“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”，命题q使用了全称量词“任意”．2．下列命题使用了什么量词？p：存在实数x，使x2－3>0；q：有的实数既不是质数也不是合数．提示：命题p使用存在量词“存在”，命题q使用存在量词“有的”．3．如何用符号表示下列命题？(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在实数x，使得＝2.提示：(1)用符号表示为“∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1”．(2)用符号表示为“∃x∈R，＝2”．用“∀”或“∃”表述命题将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)整数中1最小；(3)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(4)对于某些实数x，有2x＋1＞0.[自主解答](1)∀x∈R，x2≥0；真．(2)∀x∈Z，x≥1；假．(3)∃x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)；真．(4)∃x∈R，有2x＋1＞0；真．同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：命题含全称量词的命题“∀x∈A，p(x)”含存在量词的命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任意一个x∈A，p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立使p(x)成立①存在x∈A，②至少有一个x∈A，使p(x)成立③对有些x∈A，p(x)成立④对某个x∈A，p(x)成立⑤有一个x∈A，使p(x)成立1．用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ对有些角α，β成立；(4)方程3x－2y＝10有整数解．解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．含全称量词或存在量词的命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R，ex>0(2)下列命题中的真命题是()A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋cosβC．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件[自主解答](1)对于A，x＝1时，lgx＝0；对于B，x＝kπ＋(k∈Z)时，tanx＝1；对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；对于D，ex>0恒成立．(2)对于A，当φ＝时，f(x)＝cos2x，为偶函数，故A为假命题；对于B，令α＝，β＝－，则cos(α＋β)＝cos＝，cosα＋cosβ＝＋0＝，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ成立，故B为真命题；对于C，向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，则|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题．[答案](1)C(2)B全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．2．判断下列命题是含全称量词还是存在量词，并判断其真假．(1)一次函数都是单调函数；(2)至少有一个实数x，使x2＝0；(3)∃x∈Z，log4x>0；(4)∀x∈{x|x是无理数}，x4是无理数．解：(1)命题中含有全称量词“都”，命题...
