高中数学 第1章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性（教师用书）教案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性学习目标核心素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y＝sinx和y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象素养.2.通过周期性和奇偶性的学习，提升学生的直观想象素养.1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数思考：函数y＝|sinx|，y＝|cosx|是周期函数吗？[提示]是，周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π.1．下列函数中，周期为的是()A．y＝sinB．y＝sin2xC．y＝cosD．y＝cos4xD[根据公式T＝可知＝，得ω＝4，故应选D.]2．函数y＝2sin是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数B[y＝2sin＝2cos2x，它是周期为π的偶函数．]3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝.6[由已知得f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]三角函数的周期问题及简单应用【例1】求下列函数的周期：(1)y＝sin；(2)y＝|sinx|.思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．(2)作函数图象，观察出周期．[解](1)法一：(定义法)y＝sin＝sin＝sin，所以周期为π.法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.1．本例(2)中函数变成“y＝|cosx|”，图象如何？[解]作图如下：观察图象可知周期是π.2．本例(2)中函数变成y＝sin|x|或y＝cos|x|，图象如何？[解]作图如下：由图象可知y＝sin|x|不是周期函数，y＝cos|x|的图象与y＝cosx图象相同，仍为周期函数，周期为2π.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.[跟进训练]1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y＝cos2x，x∈R；(2)y＝sin，x∈R.[解](1)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(2)因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.三角函数奇偶性的判断【例2】(1)若函数y＝2sin(x＋φ)为偶函数，则φ的值的集合为．(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝sin；②f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；③f(x)＝.思路点拨：(1)→→(2)(1)[因为y＝cosωx为偶函数，y＝sinωx为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y＝2cosx或y＝－2cosx，只有φ＝kπ＋(k∈Z)．](2)[解]①显然x∈R，f(x)＝cosx， f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．②由得－1＜sinx＜1，解得定义域为，∴f(x)的定义域关于原点对称．又 f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．③ 1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. 定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．1．判断函数奇偶性应把握好两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．[跟进训练]2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝cos＋x2sinx；(2)f(x)＝＋.[解](1)f(x)＝sin2x＋x2sinx，又 x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)...