高中数学 第1章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值（教师用书）教案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标核心素养1.掌握y＝sinx和y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y＝sinx和y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质，提升学生的数学抽象素养.2.通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养.正弦、余弦函数的图象与性质解析式y＝sinxy＝cosx图象值域[－1,1][－1,1]单调性在＋2kπ，k∈Z上递增，在＋2kπ，k∈Z上递减在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减最值x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1对称轴x＝kπ＋(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)对称中心(kπ，0)k∈Zk∈Z思考：y＝sinx和y＝cosx在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？[提示]由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.1．y＝2sin的值域是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．[－1,1]A[这里A＝2，故值域为[－2,2]．]2．函数y＝sin的一个对称中心是()A.B.C.D.B[y＝sin＝cos2x，令2x＝kπ＋(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，令k＝0的对称中心为，故选B.]3．函数y＝2－sinx取得最大值时x的取值集合为．[当sinx＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，此时x＝2kπ－，k∈Z.]4．函数f(x)＝cos的单调减区间为．(k∈Z)[令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调减区间为(k∈Z)．]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】(1)函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是．(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．思路点拨：(1)确定a的范围→y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数→y＝cosx在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．(2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sinu＋1的单调递增区间．(2)[解]令u＝＋2x，函数y＝sinu＋1的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.1．本例(2)中条件不变，问是该函数的单调递增区间吗？[解]令2x＋＝u， x∈，∴≤2x＋≤，即u∈.而y＝sinu在上不单调，故y＝sin＋1在上不是单调递增的．2．本例(2)中条件不变，求在[－π，π]上的单调递增区间．[解]对于y＝sin＋1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． －π≤x≤π，令k＝－1时，－π≤x≤－π，令k＝0时，－≤x≤，令k＝1时，≤x≤π，∴函数y＝sin＋1在[－π，π]上的单调递增区间为、和.3．本例(2)中把条件中的“＋2x”改为“－2x”，结果怎样？[解]y＝sin＋1＝－sin＋1，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．故函数y＝sin＋1的单调递增区间为(k∈Z)．1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时，同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．[跟进训练]1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为．(2)已知函数y＝cos，则它的单调递减区间为．(1)，(2)(k∈Z)[(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)．又x∈，所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为，.(2)y＝cos＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是(k∈Z)．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin与sin；(2)sin196°与cos156°；(3)cos与cos.思路点拨：→[解](1)...