1.2.2同角三角函数的基本关系学习目标核心素养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过把单位圆的对称几何关系用坐标表示，抽象出三角函数的基本关系，培养学生逻辑推理和直观想象素养.2.通过同角基本关系式的运用，提升运用联系的观点获得研究思路，这也是数学研究中的常用思想.1．平方关系(1)公式：sin2α＋cos2α＝1．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1．思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？[提示]成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．2．商数关系(1)公式：＝tanα.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．平方关系公式的推导如图，设P(x，y)根据单位圆中三角函数定义知，sinα＝y，cosα＝x，在Rt△OPM中，OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.1．化简的结果是()A．cosB．－cosC．sinD．－sinA[＝＝＝cos.]2．若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于()A．－B．C．±D．±A[ sinα＝且α是第二象限角，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－.]3．已知tanα＝，且α∈，则sinα的值是．－[由tanα＝得＝，1即cosα＝2sinα.又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，∴sinα＝±，又 α∈，∴sinα＝－.]4．已知＝2，则sinαcosα的值为．[由已知得＝2，解得tanα＝3，∴sinαcosα＝＝＝＝.]直接应用同角三角函数关系求值【例1】(1)已知α∈，tanα＝2，则cosα＝．(2)已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．思路点拨：(1)根据tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cosα.(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sinα，tanα.(1)－[由已知得由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，又α∈，所以cosα＜0，所以cosα＝－.](2)[解] cosα＝－＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．[解] sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，2∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－，sinα＝；当角α的终边在第四象限时，cosα＝，sinα＝－.灵活应用同角基本关系式求值[探究问题]1．齐次式包含齐次分式和齐次关系式，如何由某角的正切值求该角的齐次分式或齐次关系的值？提示：在已知某角的正切值的情况下，把齐次式转化为含正切的关系式代入求值．2．sinα±cosα与sinαcosα有怎样的关系，在求值中能否相互转化？提示：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，若含sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝.这三者在求值中是可以转化的．【例2】(1)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝．(2)已知＝2，计算下列各式的值：①；②sin2α－2sinαcosα＋1.思路点拨：(1)法一：→→→法二：→→(2)→(1)－[法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝－.因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝＝＝.②由①②解得sinα＝，cosα＝－，所以tanα＝＝－.法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－，＝－，＝－，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－或tanα＝－.由sinα＋cosα＝＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－.](2)[解]由＝2，化简得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一(换元)原式＝＝＝.法二(...
