第2课时三角函数线及其应用学习目标核心素养1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)通过三角函数线的学习，培养学生数学抽象，直观想象和数学建模素养.1．有向线段(1)定义：带有方向的线段．(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.2．三角函数线(1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.②过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.(2)图示：(3)结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？提示：当角的终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．1．角和角有相同的()A．正弦线B．余弦线C．正切线D．不能确定C[角和角的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线OM，正切线A′T′B．正弦线OM，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线MP，正切线A′T′C[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．1[若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0,1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]作已知角的三角函数线【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－；(2)；(3).[解]如图．其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．三角函数线的画法1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.2作正切线时，应从A1，0点引x轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T，即可得到正切线AT.[跟进训练]1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．[解]如图：sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.利用三角函数线比较大小【例2】(1)已知cosα＞cosβ，那么下列结论成立的是()A．若α、β是第一象限角，则sinα＞sinβB．若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC．若α、β是第三象限角，则sinα＞sinβD．若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ(2)利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．思路点拨：(1)(2)(1)D[由图(1)可知，cosα＞cosβ时，sinα＜sinβ，故A错误；图(1)由图(2)可知，cosα＞cosβ时，tanα＜tanβ，故B错误；图(2)由图(3)可知，cosα＞cosβ时，sinα＜sinβ，C错误；图(3)由图(4)可知，cosα＞cosβ时，tanα＞tanβ，D正确．]图(4)(2)解：如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正，∴sin＞sin；|OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos＞cos；|AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan＜tan.1利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负.2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.,②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.[跟进训练]2．已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜cD[由如图的三角函数线知：MP＜AT，因为＞＝，所以MP＞OM，所以cos＜sin＜tan，所以b＜a＜c.]3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，上述长度关系又如何？[解]如图所示，当＜α＜时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当＜α＜时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′.利用三角函数线解三角不等式[探究问题]1．利用三角函数线如何解答形如sinα≥a，sinα≤a(|a|≤1)的不等式？提示：对形如sinα≥a，sinα≤a(|a|≤1)的不等式：图①画出如图①所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线...
