第十讲二项式定理与多项式知识、方法、技能Ⅰ．二项式定理1．二项工定理2．二项展开式的通项它是展开式的第r+1项.3．二项式系数4．二项式系数的性质（1）（2）（3）若n是偶数，有，即中间一项的二项式系数最大.若n是奇数，有，即中项二项的二项式系数相等且最大.（4）（5）（6）（7）（8）以上组合恒等式（是指组合数满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出.5．证明组合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.（3）利用数学归纳法.（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.赛题精讲1例1：求的展开式中的常数项.【解】由二项式定理得①其中第项为②在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为则③由③得r－2k=0，即r=2k，r为偶数，再根据①、②知所求常数项为【评述】求某一项时用二项展开式的通项.例2：求的展开式里x5的系数.【解】因为所以的展开式里x5的系数为【评述】本题也可将化为用例1的作法可求得.例3：已知数列满足求证：对于任何自然数n，是x的一次多项式或零次多项式.（1986年全国高中数学联赛试题）【思路分析】由是等差数列，则从而可将表示成的表达式，再化简即可.【解】因为所以数列为等差数列，设其公差为d有从而2由二项定理，知又因为从而所以当的一次多项式，当零次多项式.例4：已知a，b均为正整数，且求证：对一切，An均为整数.【思路分析】由联想到复数棣莫佛定理，复数需要，然后分析An与复数的关系.【证明】因为显然的虚部，由于所以从而的虚部.因为a、b为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，An为整数.【评述】把An为与复数联系在一起是本题的关键.例5：已知为整数，P为素数，求证：【证明】由于为整数，可从分子中约去r！，又因为P为素数，且，所以分子中的P不会红去，因此有所以3【评述】将展开就与有联系，只要证明其余的数能被P整除是本题的关键.例6：若，求证：【思路分析】由已知猜想，因此需要求出，即只需要证明为正整数即可.【证明】首先证明，对固定为r，满足条件的是惟一的.否则，设则矛盾.所以满足条件的m和是惟一的.下面求.因为又因为所以故【评述】猜想进行运算是关键.例7：数列中，，求的末位数字是多少？【思路分析】利用n取1，2，3，…猜想的末位数字.【解】当n=1时，a1=3，，因此的末位数字都是7，4猜想，现假设n=k时，当n=k+1时，从而于是故的末位数字是7.【评述】猜想是关键.例8：求N=1988－1的所有形如为自然数）的因子d之和.【思路分析】寻求N中含2和3的最高幂次数，为此将19变为20－1和18+1，然后用二项式定理展开.【解】因为N=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1=－其中M是整数.上式表明，N的素因数中2的最高次幂是5.又因为N=(1+2×9)88－1=32×2×88+34·P=32×（2×88+9P）其中P为整数.上式表明，N的素因数中3的最高次幂是2.综上所述，可知，其中Q是正整数，不含因数2和3.因此，N中所有形如的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.例9：设，求数x的个位数字.【思路分析】直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.【解】令，由二项式定理知，对任意正整数n.为整数，且个位数字为零.因此，x+y是个位数字为零的整数.再对y估值，因为，且，所以故x的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.5例10：已知试问：在数列中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论.【思路分析】先求出，再将表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除.【证明】在数列中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之.数列的特征方程为它的两个根为，所以（n=0，1，2，…）由则取，由二项式定理得由上式知当15|k，即30|n时，15|an，因此数列中有无穷多个能被15整除的项.【评述】在二项式定理中，经常在一起结合使用.6
