第六讲不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I．排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组及则（同序和）（乱序和）（逆序和）其中是1，2，…，n的任一排列
当且仅当或时等号（对任一排列）成立
证明：不妨设在乱序和S中时（若，则考虑），且在和S中含有项则①事实上，左－右=由此可知，当时，调换（）中与位置（其余不动），所得新和调整好及后，接着再仿上调整与，又得如此至多经次调整得顺序和②这就证得“顺序和不小于乱序和”
显然，当或时②中等号成立
反之，若它们不全相等，则必存在及k，使这时①中不等号成立
因而对这个排列②中不等号成立
类似地可证“乱序和不小于逆序和”
II．应用排序不等式可证明“平均不等式”：1设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到，和平方平均（在统计学及误差分析中用到）这四个平均值有以下关系
其中等号成立的充分必要条件都是
下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：记；由于数组和数组中对应的数互为倒数，由排序不等式得（逆序和），即从而等号当且仅当或时成立，而这两者都可得到
下面证明对个正数应用得即（符号成立的条件是显然的）
最后证明它等价于2而上式左边=，于是不等式及等号成立的条件都是显然的了
从上述证明可见，对一切成立
III．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式
柯西（Cavchy）不等式：设、、，…，是任意实数，则等号当且仅当为常数，时成立
证明：不妨设不全为0，也不全为0（因为或全为0时，不等式显然成立）
记A=，B=
且令则于是原不等式成为即
它等价于其中等号成立的充要条件是从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是IV．利用排序不等式还可证明下述重要不等式
切比雪夫不等式：若，，则证明：由题设和排序不等式，有=，，……3将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式
