高中数学 §1.5.3定积分的概念教案 新人教A版选修2-2VIP免费

1.5.3定积分的概念一：教学目标知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；过程与方法借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；情感态度与价值观二：教学重难点重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义三：教学目标：1．创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．2．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121iinaxxxxxxb将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为x（baxn），在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iin，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx其中()fx成为被积函数，x叫做积分变量，[,]ab为积分区间，b积分上限，a积分下限。说明：（1）定积分()bafxdx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n时）称为()bafxdx，而不是nS．1（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间,ab；②近似代替：取点1,iiixx；③求和：1()niibafn；④取极限：1()limnbianibafxdxfn（3）曲边图形面积：baSfxdx；变速运动路程21()ttSvtdt；变力做功()baWFrdr2．定积分的几何意义如果在区间[,]ab上函数连续且恒有()0fx，那么定积分()bafxdx表示由直线,xaxb（ab），0y和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积。说明：一般情况下，定积分()bafxdx的几何意义是介于x轴、函数()fx的图形以及直线,xaxb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()yfx，若()yfx在[,]ab上可取负值。考察和式12()infxxfxxfxxfxx不妨设1(),(),,()0iinfxfxfx于是和式即为121(){[()][]}iinfxxfxxfxxfxxfxx()bafxdx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1abdxba1性质2babadxxfkdxxkf)()(（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）2性质31212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx（定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中（定积分对积分区间的可加性）性质5若baxxf,,0)(，则badxxf0)(推论1：)()(xgxf，babadxxgdxxf)()(ba推论2：babadxxgdxxf)()(ba性质6设mM,为)(xf在ba,上的最大值、最小值，则)()()(abMdxxfabmba性质7（中值定理）若baxf,)(，则至少有一ba,，使))(()(abfdxxfba.证：由性质6知，Mdxxfabmba)(1，依介值定理，必有ba,，使)()(1fdxxfabba，即))(()(abfdxxfba。说明：①推广：1212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx②推广:121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx③性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba例1．计算定积分21(1)xdx分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。3性质1性质4即：215(1)2xdx思考：若改为计算定积分22(1)xdx呢？改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）练习计算下列定积分1．50(24)xdx解：50(24)945xdx2．11xdx解：11111111122xdx例2．计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差...