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高中数学 3.4《曲线与方程》教学设计 北师大版选修2-1VIP免费

高中数学 3.4《曲线与方程》教学设计 北师大版选修2-1_第1页
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2.1《曲线与方程》教学设计【教学目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系,并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念,从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.2.在领会曲线和方程概念的过程中,培养分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力,同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.3.了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点;初步掌握求曲线的方程的方法.【导入新课】复习导入复习有关常见的曲线,及其对应的方程.例如我们一起回顾直线和圆的方程有关知识:1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为,2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是,3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为,4.直线x-y=0上点的横坐标与纵坐标相等x=y(或x-y=0)即第一、三象限角平分线含有关系:(1)直线上点的坐标都是方程x-y=0的解(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线x-y=0上.新授课阶段1.曲线的方程和方程的曲线的概念:我们把满足下面两个条件:(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上的方程叫做曲线的方程,则该曲线,叫做方程的曲线.例1下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l,为什么?(1)x-y=0(2)=0(3)x2-y2=0(4)|x|-y=0解析:方程(1)是表示直线l的方程,而(2)(3)(4)都不是表示直线l的方程.1(2)中直线上的点的坐标不全是方程的解,如(-1,-1)等,即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论.(3)中虽然“直线l上的点的坐标都是方程的解”,但以方程x2-y2=0的解为坐标的点不全在直线l上,如点(2,-2)等,即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论.(4)中依照(2)(3)的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论,比如点(-1,1).点评:理解曲线的方程和方程的曲线的概念,并能对题目作出正确的判定.判定时必须要同时满足(1)直线l上的点的坐标都是方程的解.(2)以方程的解为坐标的点都在直线上.例2(1)判断点M1(3,-4),M2(-2,2)是否在方程x2+y2=25所表示的曲线上.(2)用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x2+y2=25.分析:第(1)问先把点的坐标代入已知的表达式中,满足方程则在曲线上,否则不在曲线上.第(2)问利用圆的定义,结合两点间距离公式化简求解,并进行说明.解析:(1)把点M1(3,-4),M2(-2,2)分别代入到方程中,可知前者满足方程,后者不满足.(2)设圆心坐标为(0,0),半径为r=5,圆上的任意一点P(x,y),结合两点间距离公式,我们得到圆上的点满足的方程.2.求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)};(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)将方程f(x,y)=0化为最简形式;(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点.(查漏除杂).例3证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(kk的点的轨迹方程是kxy.分析:先结合已知条件求解方程,然后运用定义证明.证明:(1)设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点,因为点M与x轴的距离为0y,与y轴的距离为0x,所以kyx00即),(00yx是方程kxy的解.(2)设1M的坐标),(11yx是方程kxy的解,那么kyx11即kyx11,而11,yx正是点1M到x轴,y轴的距离,因此点1M到两条坐标轴的距离的积是常数k,点1M是曲线上的点.由(1)(2)可知,kxy是与两条坐标轴的距离之积是常数)0(kk的点的轨迹方程.例4设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.解法一: 7(1)23(1)ABk,∴所求直线的斜率k=-0.5.又 线段AB的中点坐标是1317(,)22,即(1,3).∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y-7=0.解法二:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点,则|MA|=|MB|.2∴2222(x+1)+(y+1)=(x-3)+(y-7)2222x+2x+1+y+2y+1=x-6x+9+y-14y+49∴∴270xy(Ⅰ)(1)由以上过程可知,...

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