高中数学 3.4.1《基本不等式的证明（2）》教案苏教版必修5VIP专享VIP免费

第11课时：§3.4.1基本不等式的证明（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。二、过程与方法通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式2abab，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点与难点】：重点：均值不等式定理的证明及应用。难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。【学法与教学用具】：1.学法：2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba2．基本不等式：如果a,b是正数，那么).""(2号时取当且仅当baabba我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数，abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。二、研探新知用心爱心专心最值定理：已知yx,都是正数，①如果积xy是定值p，那么当yx时，和yx有最小值p2；②如果和yx是定值s，那么当yx时，积xy有最大值241s．证明： Ryx,，∴xyyx2，①当xyp(定值)时，pyx2∴yxp2， 上式当yx时取“”，∴当yx时有min)(yxp2；②当syx(定值)时，2sxy∴241sxy， 上式当yx时取“”∴当yx时有2max41)(sxy．说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。③函数式中各项必须都是正数;④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1（1）求lglog10xx)1(x的最值，并求取最值时的x的值。解： 1x∴0lgx010logx，于是210lglg210loglgxxxx，当且仅当lglog10xx，即10x时，等号成立，∴lglog10xx)1(x的最小值是2，此时10x．（2）若上题改成10x，结果将如何？解： 10x0lgx010logx，于是2)10log()lg(xx，从而210loglgxx，∴lglog10xx(01)x的最大值是2，此时110x．例2（1）求(4)(04)yxxx的最大值，并求取时的x的值。（2）求)20(42xxxy的最大值，并求取最大值时x的值用心爱心专心解： 04x，∴0,40xx，∴4(4)22xxxx则(4)4yxx，当且仅当4xx，即2(0,4)x时取等号。∴当2x时，(4)(04)yxxx取得最大值4。例3若21xy，求11xy的最小值。解： 21xy，∴1122xyxyxyxy22123()322yxyxxyxy当且仅当221yxxyxy，即21222xy时取等号，∴当2221,2xy时，11xy取最小值322例4求下列函数的值域:（1）22213xxy；（2）xxy1归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正1．已知101,01,9xyxy，求1133loglogxy的最大值，并求相应的,xy值。2．已知0x，求423xx的最大值，并求相应的x值。3．已知02x，求函数()3(83)fxxx的最大值，并求相应的x值。用心爱心专心4．已知0,0,31,xyxy求11xy的最小值，并求相应的,xy值。五、归纳整理，整体认识1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；2．运用基本不...