2.2.1《椭圆及其标准方程》教学设计【教学目标】1.理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；2.理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；3.了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法。。【导入新课】实例引入1.当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、试举出现实生活中圆锥曲线的例子．2.探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？新授课阶段1.椭圆的定义．把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为时，椭圆即为点集．2.椭圆标准方程的推导过程设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义．具体推导过程省略。类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程。1分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解。解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，则。例2如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程。解：设，；∵为线段的中点，∴；∵，∴点的轨迹方程为；例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程。2分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程。解：设点，则，；代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程。为：。课堂小结1.能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义；2.能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示；3.正确推导椭圆的标准方程，理解椭圆的焦点位置和图形的对应关系。作业见同步练习部分拓展提升1．如果方程表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是（）A．（0，+）B．（0，2）C．（1，+）D．（0，1）2．若椭圆过点（－2，），则其焦距为（）A.2B.2C.4D.43．设F是椭圆的一个焦点，椭圆上至少有21个点P1，P2，P3，…，P21，使得数列{PiF}(i=1,2,…,21)成公差为d的等差数列，则d的一个可取值是（）A．B．－C．D．－6．已知AB是过椭圆左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|=4，其中F2为椭圆的右焦点，则弦AB的长是。37．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是。8.已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，－6），P为椭圆上的一个动点，试求|PM|＋|PF2|的取值范围。4参考答案1．D【解析】距离之和恰好等于两定点间的距离。2．C【解析】运用离心率的计算公式。3．C【解析】用椭圆定义．4．D【解析】将方程化成标准形式．5．C【解析】将点的坐标代入，求b．6．D【解析】考虑特殊情况．7．4【解析】用椭圆定义．8.解：由椭圆的定义知|PF2|+|PF1|=2a=20，故|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+201|PM|-|PF˚1|≤|MF1|=10，故|PM|+|PF2|≤30（当且仅当P为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；2|PF˚1|-|PM|≤|MF1|=10，故|PM|+|PF2|=20-（|PF1|-|PM|）≥10（当且仅当P为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）综上可知，|PM|+|PF2|的取值范围为[10，30]。5
