12015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2015年北京，理1】复数i2i（）（A）12i（B）12i（C）12i（D）12i【答案】A【解析】2i2i2ii12i，故选A．（2）【2015年北京，理2】若x，y满足010xyxyx，，，则2zxy的最大值为（）（A）0（B）1（C）32（D）2【答案】D【解析】如图，当01xy，max2z，故选D．（3）【2015年北京，理3】执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）（A）22，（B）40，（C）44，（D）08，【答案】B【解析】020212222240403stxykstxykstxyk，结束，输出(4,0)，故选B．（4）【2015年北京，理4】设，是两个不同的平面，m是直线且m?．“m∥”是“∥”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】//m不能推出//，而//，//m，“//m”是“//”的必要不充分条件，故选B．（5）【2015年北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）（A）25（B）45（C）225（D）5【答案】C【解析】由三视图知，PA面ABC，12222ABCS，5ABAC，155122PABPCASS,6PCPB，12552PBCS，225S，故选C．（6）【2015年北京，理6】设na是等差数列.下列结论中正确的是（）（A）若120aa，则230aa（B）若130aa，则120aa（C）若120aa，则213aaa（D）若10a，则21230aaaa【答案】C【解析】210aa，0d，所以30a，132132aaaaa，故选C．（7）【2015年北京，理7】如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式2log1fxx≥2的解集是（）（A）|10xx≤（B）|11xx≤≤（C）|11xx≤（D）|12xx≤【答案】C【解析】由题可知：22-10()202xxfxxx，当1,0x时，2log(1)022xx．0,2x时，()fx单调递减，2()log(1)gxx单调递增，2log(1)2xx1x当01x时，2log(1)2xx，2()log(1)fxx的解集为1,1，故选C．（8）【2015年北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）（A）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米（B）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多（C）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油（D）某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，A错；由图知，当以40/kmh的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B错；甲车以80/kmh行驶1小时耗油8升，故C错在限速80/kmh，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，故选D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。（9）【2015年北京，理9】在52x的展开式中，3x的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】5152rrrrTCx，当3r时，系数为3255424402C．（10）【2015年北京，理10】已知双曲线22210xyaa的一条渐近线为30xy，则a．【答案】33【解析】令22200xxyyaa，所以1333aa．（11）【2015年北京，理11】在极坐标系中，点π23?到直线cos3sin6的距离为______．【答案】1【解析】直线方程为36360xyxy，点为(1,3)，所以点到直线方程的距离为13621213d．（12）【2015年北京，理12】在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．【答案】1【解析】222sin22sincos24253616901sinsin263090AAAabcaCCcbc．（13）【2015年北京，理13】在ABC△中，点M，N满足2AMMC，BNNC．若MNxAByAC，则x；y_______．【答案】12x，16y【解析】111111()323226MNMCCNACCBACABACABAC，所以11,26xy．3（14）【2015年北京，理14】设函数21421.xaxfxxaxax???≥①若1a，则fx的最小值为；②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是．【答案】min()1fx；1,12,2a．【解析】①当1a时，21,1()4(1)(2),1xxfxxxx，1x时，1()1fx，1x时，min311()()4()1222fxf，所以min()1fx；②（Ⅰ）当0a时，()fx没有两个零点，（Ⅱ）当01a时，1x时，220log0xaax，()fx有一个零点；1x时，12()0,2fxxaxa；当21a，即12a时，()fx恰有两个零点，所以...
