高中数学 2.5.1《逆变换与逆矩阵》教案 湘教版选修4-2VIP免费

§2.5.1逆变换与逆矩阵教学目标:一、知识与技能：通过具体图形变换，理解逆变换和逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在；会证明逆矩阵的唯一性和（AB）1＝B1A1等简单性质，并了解其在变换中的意义；了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。二、方法与过程回顾可逆变换的特殊性及逆变换概念，按照变换复合的观点引入逆变换，寻求可逆变换存在的条件及复合斩求逆方法三、情感、态度与价值观培养学生积极主动探索的思维品质和数学的质疑精神，发展提出问题、分析问题、解决问题的能力和获取数学知识的能力。教学重点:定理1定理2及应用教学难点：矩阵可逆条件的探索教学过程一、复习引入：1、设A，B是平面上的两个变换，将平面上每个点P先用变换A变到`P，再用变换B将`P变到``P，则从P到``P也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为B与A的乘积，记作BA。2、A＝1111dcba和B＝2222dcbaBA＝2222dcba1111dcba＝1212121212121221ddbccdacdbbacbaa3、矩阵S＝kk00称为纯量矩阵。S＝0000称为零矩阵，S＝1001，称为单位方阵4、交换律，消去律对矩阵乘法不成立。5、满足结合律二、新课讲解对平面上的每个点P，若变换A将P变到A（P），则变换B将A（P）变回P。即BA（P）＝P，按照变换复合的观点，这就是说重合变换BA是恒等变换。反过来，对平面上的每个点P，。也有AB（P）=P,变换AB是恒等变换。逆变换的定义：设A是平面上的变换，如果存在平面上的变换B使BA与AB都等于恒等变换E，就称变换A是可逆变换，变换B称为变换A的逆变换。记作B＝A1。反过来，变换B也是可逆变换B1＝A。如果A，B是线性变换，A，B分别是变换A，B的矩阵，则AB，BA分别是变换AB，BA的矩阵。由AB，BA是恒等变换知道对应的矩阵AB，BA等于单位方阵E。只要矩阵A，B满足AB＝BA＝E，就称A，B是可逆矩阵，B是A的逆，B＝A1，反过来也有B1＝A。三、例题解析用心爱心专心1例1A＝1111，求A1解：A表示的线性变换A：（yx,）（``,yx）满足条件yxyyxx``（1）先求变换A1，则变换A1的矩阵就是A1解二元一次方程组（1）得````21212121yxyyxx（2）因此，逆变换A1的矩阵就是A1＝21212121例2、根据变换的几何意义，求下列矩阵A的逆（1）A＝22222222（2）2002（3）2001解（1）矩阵A表示的变换是绕原点旋转4，其逆变换是绕原点旋转4，它的矩阵就是所求的逆矩阵，等于22222222（2）矩阵A表示的变换是以原点为中心、相似比为2的位似变换。它的逆变换是以原点为中心、相似比为21的位似变换，它的矩阵就是所求的逆矩阵，等于210021（3）矩阵A表示的变换是伸缩变换，x方向不变，y方向伸长到原来的2倍。它的逆变换则，x方向不变，y方向缩短到原来的21的伸缩变换，矩阵为21001，就是所求的逆矩阵。例3、A＝dcba，什么时候A可逆？当A可逆时求出A1当且仅当A表示变换A可逆时，A可逆A：（yx,）（``,yx）满足条件)2()1(``dycxybyaxx用心爱心专心2将``,yx作为已知数，将yx,作为未知数解方程组。如果存在A1使AA1等于单位矩阵E，则对每一组``,yx取yx＝A1``yx，就得到Ayx＝AA1``yx＝``yx，可见yx是方程组的解。（1）式×d-（2）式×b，得xbcadbydx)(``（3）（1）式×a-（2）式×c，得ybcadaycx)(``（4）方程（3）（4）有共同的系数bcad。我们把它记为当＝bcad0时，不论``,yx取什么值，方程（3）（4）都有唯一解````yaxcyybxdxyx＝acbd``yx，A1＝...