2.5特征值与特征向量变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。引例：根据下列条件试判断M是否与共线：⑴M=，非零向量=⑵M=，非零向量=⑶M＝，非零向量＝，解：⑴M===3，所以M与共线。⑵M==，而与不共线。即此时M与不共线。⑶M与共线。二、特征向量与特征值设二阶矩阵A，对于实数，存在一个非零向量，使得A＝，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量。几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一直线上。＞0方向不变；＜0方向相反；＝0，特征向量就被变换成零向量。代数方法：特征多项式例2求初等变换矩阵的特征值与特征向量，并作出几何解释。例3求矩阵M=的特征值和特征向量：解：矩阵M的特征值满足方程=(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-8=0解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2⑴设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程：(1+1)x+(-2)y=0即：(4+1)x+(-2)y=0也就是5x-2y=0,则可取为属于特征值1=4的一个特征向量。⑵设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程：(2+1)x+(-2)y=0即：(-2+1)x+(-2)y=0也就是x+2y=0则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量。综上所述：M=有两个特征值1=4，2=-2，属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。例3已知：矩阵M=，向量=求M3解：由上题可知1=,2=是矩阵M=分别对应特征值1=4，2=-2的两个特征向量，而1与2不共线。又==3+=31+2∴M3=M3(31+2)=3M31+M32=3131+232=3×43+(-2)3×=192×-8×==例4已知M＝，＝，试计算M50例5自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，并有关系式，其中a1＝6，b1＝4，试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势。
