高中数学 2.4平面向量的数量积教案6 新人教A版必修4VIP免费

§2.4平面向量的数量积2．4．1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目标：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角。教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识。主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学流程：概念引入→概念获得→简单运用→算律探究→理解掌握→反思提高教学过程：一、复习引入问题1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？sF结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W=||||cos，是与的夹角.（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）二、新课讲解1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定：0与任何向量的数量积为0.问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.用心爱心专心1（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是ab=bca=c如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|，bc=|b||c|cos=|b||OA|ab=bc但ac(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.（“投影”的概念）：作图2．定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.例题1：探究1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0,何时为负？当0°≤θ＜90°时a·b为正；当θ=90°时a·b为零。90°＜θ≤180°时a·b为负探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量.（1）abab=0（2）当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或（3）|ab|≤|a||b|公式变形：cos=探究3：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的用心爱心专心2BAC运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明）向量a，b，c和实数λ，有（1）ab=ba（2）（λa）b=λ（ab）=a（λb）（3）（a+b）c=a·c+bc（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2））例2已知|a|=6，|b|=4，a·b=12，求（1）ａ与ｂ的夹角；（2）|a+b|；（3）(a+2b)·(a-3b).例3已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.例4（适时补充）判断正误：①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с...