高中数学 2.4 空间直角坐标系 2.4.2 空间两点的距离公式教案 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学教案VIP免费

2.4.2空间两点的距离公式示范教案\s\up7()教学分析教材类比平面上两点间距离公式得到空间两点间的距离公式，值得注意的是在教学中，让学生了解空间两点间的距离公式的推导思路即可，不必证明．三维目标掌握空间两点的距离公式及其应用，提高学生的类比能力和解决问题的能力．重点难点教学重点：空间两点间的距离公式．教学难点：空间两点间的距离公式的推导．课时安排1课时\s\up7()导入新课设计1.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容．设计2.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点之间的距离是d＝.同学们想一想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式．推进新课讨论结果：(1)平面直角坐标系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(2)计算空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝|AB|＝.特别地，点A(x，y，z)到原点O的距离公式为d(O，A)＝|OA|＝.(3)推导空间两点距离公式的思路是：过两点分别作三个坐标面的平行平面(如下图)，则这六个平面围成一个长方体，我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．于是，只要写出交一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式．你还可以作线段AB在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．(如下图)1思路1例1给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为.解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，|P0P|＝，即＝，所以(x－4)2＝25.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．点评：本题利用空间两点间距离公式列出了方程，求出了点P的坐标．变式训练1．在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)，B(1，－3,1)的距离相等．解：设M(0,0，z)，由题意，得|MA|＝|MB|，＝，整理并化简，得z＝－3，所以M(0,0，－3)．2．△ABC的三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，试证明△ABC是一直角三角形．分析：要判定△ABC是一直角三角形，只需求出|AB|，|BC|，|CA|的长，利用勾股定理的逆定理来判定．解：因为三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，所以|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|CA|＝＝3.又因为|AB|2＋|CA|2＝|BC|2，所以△ABC是直角三角形．思路2例2已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则|AB|的最小值为()A．0B.C.D.分析：要求|AB|的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值．解析：|AB|＝＝＝≥.当x＝时，|AB|的最小值为.答案：B点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法．变式训练在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小．解：由已知，可设M(x,1－x,0)，则|MN|＝＝.所以|MN|min＝.1．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段AB的中点坐标和长度；2(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．解：(1)设M(x，y，z)是线段AB的中点，则根据中点坐标公式，得(2，，3)．根据两点间距离公式，得|AB|＝＝，所以AB的长度为.(2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，所以有下面等式：＝.化简，得4x＋6y－8z＋7＝0，因此，到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.2．已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，平面ABCD和平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0