高中数学 2.2《线性变换的基本性质》教案 湘教版选修4-2VIP专享VIP免费

§2.2线性变换的基本性质教学目标:一、知识与技能：会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21A＝AA21二、方法与过程分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。三、情感、态度与价值观感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。教学重点:定理的探究及证明教学难点：定理的探究教学过程一、复习引入：1、基本概念（1）二阶矩阵：由四个数a，b，c，d排成的正方形数表dcba称为二阶矩阵。特别地，称二阶矩阵0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵1001为二阶单位矩阵，记为2E。（2）向量：向量（yx,）是一对有序数对，yx,叫做它的两个分量，且称yx为列向量，（yx,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵（1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如dycxybyaxx``（其中a，b，c，d为常数）的几何变换叫做线性变换。（2）旋转变换坐标公式为cossinsincos``yxyyxx，变换对应的矩阵为cossinsincos（3）反射变换①关于x的反射变换坐标公式为yyxx``对应的二阶矩阵为1001；用心爱心专心1②关于y的反射变换坐标公式为yyxx``对应的二阶矩阵为1001；③关于xy的反射变换坐标公式为xyyx``对应的二阶矩阵为0110；（4）伸缩变换坐标公式为ykyxkx2`1`对应的二阶矩阵为2100kk；（5）投影变换①投影在x上的变换坐标公式为0``yxx对应的二阶矩阵为0001；②投影在y上的变换坐标公式为yyx``0对应的二阶矩阵为1000（6）切变变换①平行于x轴的切变变换坐标公式为yysyxx``对应的二阶矩阵为101s101s②平行于y轴的切变变换坐标公式为ysxyxx``对应的二阶矩阵为101s二、新课讲解定理1设A＝dcba，111yxX，222yxX，t，k是实数。则以下公式成立：（1）A（t1X）＝t（A1X）（2）A1X＋A2X＝A（1X＋2X）（3）A（t1X＋k2X）＝tA1X＋kA2X证明：（1）A（t1X）＝dcba11tytx＝1111dtyctxbtyatx＝1111dycxbyaxt＝t（A1X）（2）A1X＋A2X＝dcba11yx＋dcba22yx＝1111dycxbyax＋2222dycxbyax＝22112211dycxdycxbyaxbyax用心爱心专心2＝)()()()(21212121yydxxcyybxxa＝dcba2121yyxx＝A（1X＋2X）（3）A（t1X＋k2X）＝A（t1X）＋A（k2X）＝tA1X＋kA2X由定理1还得出：A（2X1X）＝A2X＋A（1X）＝A2X-A1X由定理1还可翻译为线性变换在向量上作用的等式AAA)(；tAtA)(；)(21A＝AA21定理2可逆的线性变换具有如下性质：（1）直线仍变成直线；（2）将线段仍变成线段（3）将平行四边形变成平行四边形证明：设可逆线性变换A的矩阵为A。设0P，1P，2P为平面三个不同的点，P为平面上任意一点，点0P，1P，2P，P，分别初恋换A变到点`0P，`1P，`2P，`P如图所示。设0OP，1OP，2OP，OP，`0OP，`1OP，`2OP，`OP的坐标分别是0X，1X，2X，X，`0X，`1X，`2X，`X则`0X＝A0X，`1X＝A1X，`2X＝A2X，`X＝AX设0P，1P不重合，决定一条直线0P1P和一条线段0P1P由于A是可逆变换，`0P，`1P也不重合，也决定一条直线`0P`1P和一条线段`0P`1P（1）点P在直线0P1P上存在实数t使PP0＝t10PPX-0X=t(1X-0X)A(X-0X)=At(1X-0X)AX-A0X=t(A1X-A0X)`X...