第二十二课时对数(3)学习要求1.初步掌握对数运算的换底公式及其简单应用。2.培养学生的数学应用意识。自学评价1.对数换底公式logloglogmamNNa2.说明:由换底公式可得以下常见结论(也称变形公式):①loglog1abba;②loglogmnaanbbm;③logloglogbabaxx3.换底公式的意义是把一个对数式的底数改变,可将不同底问题化为同底,便于使用运算法则,所以利用换底公式可以解决一些对数的底不同的对数运算。【精典范例】例1:计算(1)83log9log32(2)427125log9log25log16(3)4483912(log3log3)(log2log2)log32分析:这是底不同的对数运算,可考虑用对数换底公式求解。【解】(1)原式lg9lg32lg8lg32lg35lg23lg2lg3103(2)原式lg9lg25lg16lg4lg27lg1252lg32lg54lg282lg23lg33lg59另解:原式23524log3log5log23389(3)原式2233111(log3log3)(log2log2)232125log2453556242点评:利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法,它在求值或恒等变形中起了重要作用,在解题过程中应注意:⑴针对具体问题,选择恰当的底数;⑵注意换底公式与对数运算法则结合使用;⑶换底公式的正用与逆用;(4)变形公式可简化运算。例2:1)已知3log12a,试用a表示3log24(2)已知3log2a,35b,用a、b表示30log3(3)已知18log9,185ba,用,ab表示36log45【解】(1)∵333log12log(34)12log2a∴31log22a333log24log(83)13log21311322aa(2)∵35b,3log5b∴30log331log302331(log5log21)21(1)2ab(3)由185b,得18log5b∴36log45181818log45log5log9log361log2182log92ababa点评:当一个题目中同时出现指数式和对数式时,一般要把问题转化,统一到一种表达式上,在求解过程中,根据题目的需要,将指数式转化为对数式,或将对数式转化为指数式,这正是数学数学转化思想的具体表现。追踪训练一1.利用换底公式计算:(1)25log5log42(2)235111logloglog25892.求证:341log4log33.2lg4lg5lg20(lg5)答案:1.(1)2(2)122。略3.2【选修延伸】一、对数的应用例3:如图,2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元.如果我国GDP年均增长7.8%左右,按照这个增长速度,在2000年的基础上,经过多少年以后,我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标?1998-2002年我国GDP数据图GDP/亿元时间/so2002200120001999199812000010000080000600004000020000【解】设经过x年后我国的GDP实现比2000年翻两番.则:89444(10.078)489444x∴1.078lg4log418.5lg1.078x答:约经过19年以后,我国GDP才能实现比2000年番两番.例4:要测定古物的年代,可以用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后,停止了新陈代谢,14C不再产生,且原有的14C会自动衰变.经过5730年(14C的半衰期),它的残余量只有原始量的一半.我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%,试推算古莲子的生活年代.分析:【解】设经过x年后的残余量是(01)xyaa,由14C的半衰期是5730年,即5730x时,312y得573012a,∴1lg5730lg2a,lg2lg5730a,∴由87.9%0.879y,知0.879xa∴lglg0.879xa,∴lg2()lg0.8795730x5730lg0.8791066lg2x∴古莲子约是1066年前的遗物。思维点拔:有关增长率问题,满足关系式(1)xyma,其中m是增长(降低)前的量,a为增长率(降低率),x为增长(降低)次数,y是增长(降低)后的量,要求a或x需要对等式两边取对数,选择恰当的底数是关键,在解题过程中,常取常用对数。追踪训练二第22课对数(3)分层训练1.82log9log3等于()A.23B.1C.32D.22.设lg2=a,lg3=b,则log512=()A.aba12B.aba12C.aba12D.aba123.6log18log)3(log2626=.4.31log2aa,则log123=5.若2loglog8log4log4843m,则m的值是.6.计算:(log25+log4125)5log2log3347.求值:6811log4log716498.设185,189ba,试用,ab表示72log45拓展延伸9.设lg54,lg63,lg84abc试用,,abc表示lg210.已知,,xyz均为正实数,且346xyz求证:1112zxy5