第一节圆的方程（1）【学习导航】知识网络学习要求1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．【课堂互动】自学评价1.以(,)ab为圆心，r为半径的圆的标准方程：222()()(0)xaybrr.2.圆心在原点(0,0)，半径为r时，圆的方程则为：222(0)xyrr；3.单位圆：圆心在原点且半径为１的圆；其方程为：221xy．注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．【精典范例】例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：⑴22(2)(3)7xy；⑵22(5)(4)18xy⑶22(1)3xy⑷22144xy⑸22(4)4xy【解】（如下表）方程圆心半径22(2)(3)7xy(2,3)7用心爱心专心1圆的标准方程概念单位圆圆的标准方程的简单运用22(5)(4)18xy(5,4)3222(1)3xy(0,1)322144xy(0,0)1222(4)4xy(4,0)2点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径．例2：（１）写出圆心为(2,3)A，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M，(5,1)N是否在这个圆上；（２）求圆心是(2,3)C，且经过原点的圆的方程．分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．【解】（１） 圆心为(2,3)A，半径长为5，∴该圆的标准方程为：22(2)(3)25xy．把点(5,7)M代入方程的左边，2222(52)(73)3425＝右边，即点(5,7)M的坐标适合方程，∴点(5,7)M是这个圆上的点；把点(5,1)N的坐标代入方程的左边，22(52)(13)134525．即点(5,1)N坐标不适合圆的方程，∴点N不在这个圆上．（２）法一： 圆C的经过坐标原点，∴圆C的半径为：22(20)(30)r222313，因此所求的圆的方程为：用心爱心专心222(2)((3))13xy，即22(2)(3)13xy．法二： 圆心为(2,3)C，∴设圆的方程为222(2)(1)xyr， 原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即222(02)(01)r，所以213r，∴所求圆的标准方程为：22(2)(3)13xy．点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．例3：（１）求以点(1,2)A为圆心，并且和x轴相切的圆的方程；（２）已知两点(4,9)P，(6,3)Q，求以线段PQ为直径的圆的方程．分析：（１）已知与圆心坐标和该圆与x轴相切即可求出半径．（２）根据PQ为直径可以得到相应的圆心与半径．【解】（１） 圆与x轴相切∴该圆的半径即为圆心(1,2)A到x轴的距离2；所以圆的标准方程为：22(1)(2)4xy．（２） PQ为直径，∴PQ的中点M为该圆的圆心即(5,6)M，又因为22||(64)(39)436PQ210，所以||102PQr，∴圆的标准方程为：22(5)(6)10xy．点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．例４：已知隧道的截面是半径为4m的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽用心爱心专心3度为3m，高为3.5m的货车能不能驶入这个隧道？分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出半圆的方程，对应求出当3x时的值，比较得出结论．【解】以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：2216(0)xyy将3x代入得21637933.5y，即离中心线3m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．思考：假设货车的最大的宽度为am，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？解：将xa代入得216ya，即限高为216am．追踪训练一1.写出下列各圆的方程：（１）圆心在原点，半径为6；（２）经过点(6,3)P，圆心为(2,2)C．【解】（１）2236xy；（２）22(2)(2)41xy．２．求以点(1,5)C为圆心，并且和y轴相切的圆的方程．【解】由题意：半径1r，所以圆的方程为：22(1)(5)1xy．３.圆的内接正方形相对的两个顶点为(5...
