高中数学 2.1.2《椭圆的几何性质》教案（3） 湘教版选修1-1VIP免费

第三课时椭圆的简单几何性质教学目标1、能利用椭圆中的基本量a、b、c、e熟练地求椭圆的标准方程2、掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题3、培养理解能力，知识应用能力教学过程1、复习回顾⑴说出椭圆x2/4＋y2＝1的范围、长轴长、短轴长、离心率、顶点和焦点坐标、准线方程。⑵求中心在原点，过点，一条准线方程是的椭圆方程。⑶我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且A、B、F2在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星的运行轨道方程（精确到1km）。分析：几个概念的理解，坐标系的建立，由a＋c，a－c求a、b、c。x2/77832+y2/77222=12、探索研究椭圆参数方程的推导以原点为圆心，分别以a、b(a＞b＞0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹方程。解：设点M的坐标为(x,y)，φ是以Ox为始边，OA为终边的正角。取φ为参数，则，即这就是点M的轨迹的参数方程，消去参数φ后得到方程x2/a2＋y2/b2＝1，由此可知点M的轨迹是椭圆。点评：这道题给出了椭圆的一种画法。大家想一想：画椭圆的方法有几种？3、反思应用例1将椭圆方程x2/16＋y2/9＝1化为参数方程。例2在椭圆x2＋8y2＝8上到直线l：x－y＋4＝0距离最短的点的坐标是______，最短距离是___。解一（化归法）：设平行于l的椭圆的切线方程为：x－y＋a＝0,由消去x得9y2－2ay＋a2－8＝0∴Δ＝4a2―4••9(a2―8)＝0，解得a＝3或a＝－3，此时或，与直线l距离较小的切线方程为x－y＋3＝0，这条切线与直线l的距离为，此时点P(－8/3,1/3)解二：（参数法）设点，则点P到直线l的距离，其中3/1cos3/22sin,当sin(α－θ)＝－1时，d取得最小值，此时,∴点P(－8/3,1/3)解三：（换元法）设，则u2＋v2＝8，直线l：，由解得或（舍），，∴点P(－8/3,1/3)点P到直线l的最短距离为例3已知椭圆x2/25＋y2/16＝1，点P(x,y)是椭圆上一点，⑴求x2＋y2的最大值与最小值；⑵求3x＋5y的范围；⑶若四边形ABCD内接于椭圆，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。分析⑴一（消元法）：由x2/25＋y2/16＝1得y2＝16(1－x2/25),∴x2＋y2＝x2＋16(1－x2/25)＝16＋9x2/25∴x2＋y2的最大值是25，最小值是16二（参数法）：设x=5cosθ,y=4sinθ,∴x2＋y2=(5cosθ)2+(4sinθ)2=16+9sin2θ,∴x2＋y2的最大值是25，最小值是16⑵方法一：设x=5cosθ,y=4sinθ,则3x＋5y＝15cosθ＋20sinθ＝25sin(θ+α),∴3x＋5y的范围是［－25,25］方法二：设t＝3x＋5y，则直线3x＋5y－t＝0与椭圆x2/25＋y2/16＝1有交点由消去y得：25x2－6tx＋t2－400＝0，∴Δ＝36t2―100(t2―400)≥0,解之得：t∈［－25,25］，即3x＋5y的范围是［－25,25］⑶由椭圆方程知A(5,0),C(0,4),∴直线AC的方程是4x＋5y－20＝0，设B(5cosθ,4sinθ)(0<θ<π/2),D(5cosα,4sinα)(π<α<2π),则点B到直线AC的距离是∴四边形ABCD的最大面积是S＝|AC|(dB+dD)/2＝例4已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,5)，求点P到椭圆距离的最大值与最小值。分析：以点P(0,5)为圆心，内切于椭圆的圆的半径为r1，，即为点P到椭圆的最小值；以点P(0,5)为圆心，外切于椭圆的圆的半径为r1，，即为点P到椭圆的最大值。解：∵0＋2·52＜98，∴点P在椭圆的内部，设以点P(0,5)为圆心，与椭圆相切的圆的方程为：x2＋(y－5)2＝r2,将椭圆方程x2＋2y2＝98代入得r2＝98－2y2＋(y－5)2＝－(y＋5)2＋144(－7≤y≤7)∴当y＝－5时，rmax2＝148，即rmax＝；当y＝7时，rmin2＝4，即rmin＝2。注意：本题的解法称为辅助圆法例5求定点A(a,0)到椭圆x2＋2y2＝2上的点之间的最短距离。分析：设点B(x,y)为椭圆上的任一点，由|AB|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋1－x2/2＝(x－2a)2＋1－a2[注意：本题的解法称为函数法随堂练习⑴曲线的参数方程，则此曲线是（）A、椭圆B、直线C、椭圆的一部分D、线段⑵把参数方程，写成普通方程，并求出离心率，准线方程。x2/9＋y2/16＝1，离心率，准线方程⑶已知椭圆的参数方程，则此椭圆的长轴长是____，短轴长是___。，24、归纳总结•数学思想：数形结合、类比的思想、特殊到一般•数学方法：图象法、化归法、待定系数法、换元法、辅助圆法•知识点：椭圆的参数方程、椭圆中的最值问题5、作业