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高中数学 2.1.2《椭圆的几何性质》教案(3) 湘教版选修1-1VIP免费

高中数学 2.1.2《椭圆的几何性质》教案(3) 湘教版选修1-1_第1页
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第三课时椭圆的简单几何性质教学目标1、能利用椭圆中的基本量a、b、c、e熟练地求椭圆的标准方程2、掌握椭圆的参数方程,会用参数方程解一些简单的问题3、培养理解能力,知识应用能力教学过程1、复习回顾⑴说出椭圆x2/4+y2=1的范围、长轴长、短轴长、离心率、顶点和焦点坐标、准线方程。⑵求中心在原点,过点,一条准线方程是的椭圆方程。⑶我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面2384km,并且A、B、F2在同一直线上,地球半径约为6371km,求卫星的运行轨道方程(精确到1km)。分析:几个概念的理解,坐标系的建立,由a+c,a-c求a、b、c。x2/77832+y2/77222=12、探索研究椭圆参数方程的推导以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹方程。解:设点M的坐标为(x,y),φ是以Ox为始边,OA为终边的正角。取φ为参数,则,即这就是点M的轨迹的参数方程,消去参数φ后得到方程x2/a2+y2/b2=1,由此可知点M的轨迹是椭圆。点评:这道题给出了椭圆的一种画法。大家想一想:画椭圆的方法有几种?3、反思应用例1将椭圆方程x2/16+y2/9=1化为参数方程。例2在椭圆x2+8y2=8上到直线l:x-y+4=0距离最短的点的坐标是______,最短距离是___。解一(化归法):设平行于l的椭圆的切线方程为:x-y+a=0,由消去x得9y2-2ay+a2-8=0∴Δ=4a2―4••9(a2―8)=0,解得a=3或a=-3,此时或,与直线l距离较小的切线方程为x-y+3=0,这条切线与直线l的距离为,此时点P(-8/3,1/3)解二:(参数法)设点,则点P到直线l的距离,其中3/1cos3/22sin,当sin(α-θ)=-1时,d取得最小值,此时,∴点P(-8/3,1/3)解三:(换元法)设,则u2+v2=8,直线l:,由解得或(舍),,∴点P(-8/3,1/3)点P到直线l的最短距离为例3已知椭圆x2/25+y2/16=1,点P(x,y)是椭圆上一点,⑴求x2+y2的最大值与最小值;⑵求3x+5y的范围;⑶若四边形ABCD内接于椭圆,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形ABCD的最大面积。分析⑴一(消元法):由x2/25+y2/16=1得y2=16(1-x2/25),∴x2+y2=x2+16(1-x2/25)=16+9x2/25∴x2+y2的最大值是25,最小值是16二(参数法):设x=5cosθ,y=4sinθ,∴x2+y2=(5cosθ)2+(4sinθ)2=16+9sin2θ,∴x2+y2的最大值是25,最小值是16⑵方法一:设x=5cosθ,y=4sinθ,则3x+5y=15cosθ+20sinθ=25sin(θ+α),∴3x+5y的范围是[-25,25]方法二:设t=3x+5y,则直线3x+5y-t=0与椭圆x2/25+y2/16=1有交点由消去y得:25x2-6tx+t2-400=0,∴Δ=36t2―100(t2―400)≥0,解之得:t∈[-25,25],即3x+5y的范围是[-25,25]⑶由椭圆方程知A(5,0),C(0,4),∴直线AC的方程是4x+5y-20=0,设B(5cosθ,4sinθ)(0<θ<π/2),D(5cosα,4sinα)(π<α<2π),则点B到直线AC的距离是∴四边形ABCD的最大面积是S=|AC|(dB+dD)/2=例4已知椭圆x2+2y2=98及点P(0,5),求点P到椭圆距离的最大值与最小值。分析:以点P(0,5)为圆心,内切于椭圆的圆的半径为r1,,即为点P到椭圆的最小值;以点P(0,5)为圆心,外切于椭圆的圆的半径为r1,,即为点P到椭圆的最大值。解:∵0+2·52<98,∴点P在椭圆的内部,设以点P(0,5)为圆心,与椭圆相切的圆的方程为:x2+(y-5)2=r2,将椭圆方程x2+2y2=98代入得r2=98-2y2+(y-5)2=-(y+5)2+144(-7≤y≤7)∴当y=-5时,rmax2=148,即rmax=;当y=7时,rmin2=4,即rmin=2。注意:本题的解法称为辅助圆法例5求定点A(a,0)到椭圆x2+2y2=2上的点之间的最短距离。分析:设点B(x,y)为椭圆上的任一点,由|AB|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+1-x2/2=(x-2a)2+1-a2[注意:本题的解法称为函数法随堂练习⑴曲线的参数方程,则此曲线是()A、椭圆B、直线C、椭圆的一部分D、线段⑵把参数方程,写成普通方程,并求出离心率,准线方程。x2/9+y2/16=1,离心率,准线方程⑶已知椭圆的参数方程,则此椭圆的长轴长是____,短轴长是___。,24、归纳总结•数学思想:数形结合、类比的思想、特殊到一般•数学方法:图象法、化归法、待定系数法、换元法、辅助圆法•知识点:椭圆的参数方程、椭圆中的最值问题5、作业

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