§1.3反射变换教学目标:一、知识与技能：通过实例理解反射变换的定义及其几何意义；掌握反射变换矩阵的两种表达式，并能初步运用。二、方法与过程借助例题的探险究，发现反射变换的两种矩阵形式，寻求两种不同形式的内在联系。三、情感、态度与价值观在探究活动中，培养学生的合作交流意识，体验成功的喜悦，增强自信心；感受数学的符号美，领会数学公式的美学意义。教学重点:推导反射变换矩阵的两种表达式教学难点：两种矩阵表达式生成思路及它们之间的内在联系教学过程一、新课引入如图，设平面上建立了直角坐标系。设变换T将平面上每一点P（）变到P关于轴对称点P`，求点P`的坐标。写出变换矩阵，并将变换用矩阵与列向量乘法的形式表示。解：设点P`（），由于点P`与点P关于轴对称，因此，且变换矩阵为＝关于某条直线的轴对称变换又称关于直线的反射。类似地可以写出关于轴的反射变换的矩阵为。如果P`（）与P（）关于轴对称，那么＝二、讲解新课：1、反射变换例1如图，设平面上建立直角坐标系，是一条过原点的直线，倾斜角为。设平面上任一点P（）关于直线的对换点P`（）。试由求出。解：设A是直线在轴上方任意一点，，则OA=。用心爱心专心1仍设=|OP|，=OP，与旋转的情形类似地有|OP`|=|OP|=。由于点P，P`关于OA对称，OA平分POP`，则有POA=AOP`，即OA-OP=OP`-OA从而OP`=2OA-OP=2于是与都是的一次多项式，常数项为0，一次项系数分别是，和，组成矩阵这个矩阵代表了将每个点P变到其对称点P`的轴对称变换，变换前后的点P，P`的坐标，之间的关系式可用矩阵乘法的形式表示为=例2求关于直线的反射变换解：如图建立平面直角坐标系，设点P（）关于直线的对换点P`（）。D（，）是线段PP`与该直线的交点向量与法向量（A，B）平行，存在某个实数，使（A，B）。因此（，）=D（，）在直线上，将D的坐标代入直线方程，得由，得（）=（）+2（A，B）用心爱心专心2因此，所求矩阵为2、反射变换的逆变换例3设变换T是关于直线的反射，求它的逆变换T解设变换T将点P变到直线到的对称点P`，则P是P`关于直线的对称点，变换T将P`变回P，因此T=T。T的逆变换是它自己，三、巩固练习：1、设A=，线段PQ的坐标分别是P（2，1），Q（3，2），求线段PQ在矩阵变换下的像。2、求直线在矩阵作用下变换所得到的图形3、求直线关于直线的对称直线方程。四、小结1、反射变换问题就是对称问题，所以可用解析几何中学过的处理对称问题的方法解决本节中的有关问题。2、常见的反射变换为关于轴，轴，直线，的反射变换，它们的变换矩阵分别为A=，B=，C=，D=五、课后作业：第17页习题1，2，3教学反思：用心爱心专心3
