CBADCBADCBADababbaaba'b'aba'OOcbOaQNPM1.2.2空间两条直线的位置关系(2)教学目标：1．掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面2．掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角3．体会空间问题化归为平面问题求解的策略教学重点：异面直线的判定、异面直线所成角的寻求及其计算教学难点：异面直线概念的理解教学过程：1．问题情境(1)垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？(三种：平行、相交、异面)(2)已知,ab是异面直线，,ac是异面直线，那么,bc也是异面直线吗？(不一定，可以相交、平行或异面)(3)长方体ABCDABCD中，直线AB与1AC具有怎样的位置关系？为什么？(异面)学生尝试证明直线AB与1AC是异面直线．教师引导：用反证法．2．异面直线的判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．推理模式：,,,ABlBlAB与l是异面直线．(两内两外)证明：假设直线AB与l共面， ,,BlBl，∴点B和l确定的平面为，∴直线AB与l共面于，∴A，与A矛盾，所以，AB与l是异面直线．3．异面直线的画法4．异面直线所成角设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线//aa，//bb，我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．说明：为了简便，点O通常取在异面直线的一条上；异面直线所成角的范围(0,90]．5．例题讲解例1．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)空间两条直线可以确定一个平面．(不正确)(2)垂直于两条异面直线的直线只有一条．(不正确)(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．(不正确)(4)直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行．(正确)(5)直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交．(不正确)(6)直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面．(不正确)(7)一条直线于两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直．(正确)注：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线有且只有一条．例2．如图，已知不共面的直线,,abc相交于O点，,MP是直线a上的两点，,NQ分别是,bc上的一点．求证：MN和PQ是异面直线．用心爱心专心ADBCA'D'B'C'BCADEGF证：(法一)假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为， ,,,MPaMP，∴a，又Oa，∴O， ,,NObNb，∴b，同理c，∴,,abc共面于，与已知,,abc不共面相矛盾，所以，MN和PQ是异面直线．(法二)： acO，∴直线,ac确定一平面设为， ,PaQc，∴,PQ，∴PQ且,MMPQ，又,,abc不共面，Nb，∴N，所以，MN与PQ为异面直线．例3．正方体ABCDABCD中．(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC是异面直线？(2)求异面直线AA与BC所成的角．(3)求异面直线BA与CC所成的角．(4)求异面直线BC与AC所成的角．(5)已知,EF分别为,CCAD的中点，求异面直线AF与BE所成角．(6)已知,,,MNPQ分别为,,,ADABABBB的中点，求异面直线MN与PQ所成角．解：(1)正方体的12条棱中，除去与BC相交的6条棱，其余6条棱：,,,,,AAABADDADCDD都与直线BC是异面直线．(2)90；说明一：若两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，用符号表示为ab．还有哪些棱所在的直线与直线AA垂直呢？(答案：还有直线,,,,,,ABCDDAABBCCDDA与直线AA垂直)(3)45；(4)60；(5)90；(6)60．说明二：作异面直线所成角时，点O的选取的原则是尽量要使求角方便．求异面直线所成角的一般步骤是：“作—证—算—答”．例4．空间四边形ABCD中，2ADBC，,EF分别是,ABCD的中点，1EF，求异面直线,ADBC所成的角．解：取BD中点G，连结,,EGFGEF， ,EF分别是,ABCD的中点，∴//,//,EGADFGBC且1212,2222EGADFGBC，∴异面直线,ADBC所成的角即为,EGFG所成的角，在EGF中，222EGFGEF，∴90EGF，异面直线,ADBC所成的角为90．思考：EF与12ADBC的大小关系是什么？用心爱心专心答：12EFADBCEGFG...
