§1.1旋转变换教学目标:一、知识与技能:通过实例认识变换、旋转、像、列向量、线性变换、矩阵、恒等变换、中心对称变换等概念;以映射和变换的观点,认识矩阵一列向量乘法的意义,并能初步运用矩阵一列向量的乘法法则;掌握放置变换的表达式,能进行点坐标的变换运算,能将简单变换用其所对应的矩阵表示。二、方法与过程经历数学实验操作和问题探究,发现平面直角坐标系上的放置变换表达式,由特殊到一般引入线性变换的表达式。三、情感、态度与价值观通过数学实验中图形的变换,感受数学的奇异美,体会数学充满探索性;在学习活动中学会合作、学会发现知识,获得数学的解决问题的方法,使学生体验到成功的乐趣;感觉数学符号美,领会数学公式的美学意义。教学重点:旋转变换表达式的推导和应用教学难点:数学实验的分析;矩阵与列向量乘法的意义教学过程一、实验操作:观察图1-1中的图形,其中右边的图形是由左边的图形绕原点沿逆时针方向旋转030得到的。试自己摹仿画出图书馆-1中的图形。先画出左边的图形。这个图形包括:与x轴平行的直线和与y轴平行的直线,以原点为中心的圆,曲线图形。图1-1先将左边的平行直线画好,组成网格,再将圆画好再根据曲线每一部分在网格中的位置画出曲线图形。这也是实际画图的人员经常采用的方法:先画格子,再以格子为背景画出图形。右边的图形怎么画?需要将左边的图形作旋转。二、问题探究图1-1是计算机画出来的,很多计算机软件都可以根据图形的方程画出图形。如果想利用计算机软件画出图1-1中的曲线图形,需要知道以下信息:曲线由两部分组成,两部的参数方程分别是:2,025sin3sin34sin5.1tttytx;2,05sin3sin52sin5tttytx对于区间2,0内每一个值t,代入参数方程就得到一点。让t取遍曲线2,0内所有的值,得到的所有的点就组成一个曲线图形,可以让计算机软件根据为个方程画出它的图形。怎样将为个曲线图形旋转030?参数t的每一个值确定旋转前的曲线上的一个点,需要由这个点的坐标算出它旋转后的坐标,计算机可以根据所有这些点旋转后的坐标画出旋转后的图形。三、新课讲解:用心爱心专心1设平面上建立了直角坐标如图1-2,所有的点绕原点沿逆时针方向同一个角,求点P(yx,)经过旋转之后到达的点`P(``,yx)这是研究平面上的二维向量空间,所以应设平面上建立了直角坐标系这个前提条件,根据前后图形性质的不变性,运用化归思想把问题转化为寻找旋转前后图形对应点的关系,即找出旋转前后对应点的坐标关系:将P点人位置用向量OP和方向角来表示为sincosryrx抓住旋转前后对应点的长度r不变,方向角增加,利用三角函数的和角公式,用整体代入法寻找对图1-2应点的坐标关系为cossincossinsincos)sin(sincossinsincoscos)cos(``yxrtryyxrrrx因此cossinsincos``yxyyxx⑴平面上绕原点旋转可以看成一个变换,称为旋转变换,它建立了平面上的第一个点P到`P的对应关系。用字母T来表示这个旋转变换,为了表示点P对应`P,写成`P=T(P),称`P是P在变换T作用下的像,并且用箭头来表示P与`P的这种关系;变换T:P`P或变换T:`PT(P)在平面上建立了直角坐标系之后,每个点P由坐标(yx,)表示,当然点`P=T(P)也用坐标(``,yx)表示,因此,变换T也建立了这两个点的坐标之间的对应变换T:(yx,)(``,yx)在⑴式中左边的``,yx组成点`P的坐标(``,yx),可以看在向量`OP的坐标排成一列``yx的形式,称为列向量,可以利用向量记号将关系式⑴的两个等式全成一个向量等式cossinsincos``yxyxyx⑵表示左右两边向量的分量对应相等。为了叙述方便,我们有时还用一个字母表示一个列向量。比如记111yxX,222yxX,用1X+2X表示它们的和,1X表示实数与1X的积。用心爱心专心2表达式⑵的右边的两个分量,当固定不变时,sincosyx,cossinyx都是自变量yx,的常数项为0的一...