圆锥曲线大题集锦1．在平面直角坐标系中，F是椭圆的右焦点，已知点（0，－2）与椭圆左顶点关于直线对称，且直线AF的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于M，N两点，交直线＝－4于点E，，证明：为定值．2已知定圆：，动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为。（1）求轨迹的方程；（2）设点，，在上运动，与关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线的方程。3.已知，分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上一点，且，，成等差数列．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）假设在轴上存在点，使得恒成立．①当直线的斜率不存在时，，，由于（，解得或；4.已知定点C(－1，0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．（1）若线段AB中点的横坐标是－，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由线段AB中点的横坐标是，得，解得都满足所以直线AB的方程为或（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x1＋x2＝－，x1x2＝．③所以＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2．将③代入，整理得＝＋m2＝＝m2＋2m－－．注意到是与k无关的常数，从而有6m+14=0，此时，此时．（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为(，)、(，)，当时，也有．综上，在x轴上存在定点使为常数．5设椭圆C：(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若OM·ON＝－2，求直线l的方程；（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．(1)解由题意知，椭圆的一个顶点为(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1．(2)解由题意可知，直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．由，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝＋k2(－＋1)＝＝－2，解得k＝±，故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)，即x－y－＝0或x＋y－＝0．(3)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(2)可得|MN|＝|x1－x2|＝＝＝，由,消去y并整理得x2＝，|AB|＝|x3－x4|＝4，∴＝＝4，为定值．
