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薄板弯曲问题的有限单元法VIP免费

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第6章薄板弯曲问题的有限单元法1.薄板弯曲问题的基本方程2.薄板弯曲问题的非协调矩形单元3.非协调三角形板单元4.薄板弯曲问题的协调元6.1薄板弯曲问题的基本方程1弹性薄板的基本假设(克希霍夫假设)无挤压薄板弯曲时,平行于中面的各层面之间无挤压。这意味着薄板弯曲后厚度保持不变,因此可取。显然挠度w只是x,y的函数:0/zwz(1)),(yxww0,0zvywxwzuyzzx直法线变形前垂直于中面的直线段,变形后仍为直线,且仍然垂直于弯曲后的中面。这意味着yz和zx平面内的剪应变为零ywzvxwzu,0)(,0)(00zzvu从而得:无侧移薄板中面内各点都没有平行于中面的侧向位移,即结合几何方程可知,中面内形变分量均为零,即.0)(,0)(,0)(000zxyzyzx从上述的附加假设出发,可以将位移u、v用w表示。推导得(2),zywvzxwu这就是薄板弯曲问题的克希霍夫(Kirchhoff)假设,使用克希霍夫假设计算的板称为克希霍夫板。将用w表示的位移u,v代入几何方程这里,记为(3)}{2}{T22222zyxwywxwzxyyx}{(4)2}{22222Tyxwywxw称为薄板的广义应变分量。薄板中的应力}]{[}]{[210001011}{002DzDExyyxxyyx(5)}]{[}]{[12d}{}{03/2/2-DDhzzMMMMhhxyyx}{12}{3Mhz}{6}{22/Mhhz[D0]是平面应力问题的物理矩阵.薄板内力[D]是板的弯曲刚度矩阵.显然最大应力发生在薄板的上下表面2弹性薄板的几点简化应力分量的减少应变分量的减少位移之间有了附加关系应力应变关系的简化0z00yzzx,zzywvzzxwuyxwwxy,),,(xyyxxyyxE21000101121薄板弯曲问题节点位移参数的选择采用克希霍夫假设后,薄板的变形状态完全由一个变量,即中面挠度w(x,y)来确定。然而,在有限元法中只取挠度本身作为节点位移参数是不够的。按克希霍夫理论,薄板内部非中面上各点的位移(u,v,w)是用相应的中面点的挠度w(x,y)和该点处中面法线转角θx和θy来表示的(2式)。因而,为了保证板内位移(u,v,w)在整个求解区域内单值连续,除要求w在全域内单值连续外,还必须要求θx和θy在全域内也是单值连续的。这里.xwywyx,6.2矩形薄板单元将只要求函数本身连续的问题称为C0问题,如弹性力学平面问题;将不但函数本身,还要求其一阶导数连续的问题称为C1问题,如薄板弯曲问题。iiiyixiiixwywww)/()/(}{如果将位移模式仍然取为多项式,要求在全域内位移及一阶导数连续,这等价于在单元边界上要保证位移及一阶导数连续,因此在单元结点上必须保证位移及一阶导数连续,即应选取三个结点位移参数如果取四节点单元,则取位移函数为31231131029283726524321xyyxyxyyxxyxyxyxw两个四次项的选取,保证了在单元边界上,即x=const,y=const时,位移是三次多项式。3423213123113102928372652432134232131231131029283726524321),(),(yByByBBdyydydyyddydydydydwxAxAxAAxccxcxccxxcxcxcxcxw位移连续性问题。在ij边上,y=const,共有四个参数,可由ij边两端节点的位移参数唯一确定,因此在相邻单元的公共边界上,位移w及其切向导数是连续的。342321xAxAxAAwjjiixwwxww)()(,,,)(即xwsw//仍有四个参数,但是节点参数只有两个,无法唯一确定法向导数。也就是说,在两个相邻单元的公共边界上,位移模式w的法向导数并不相同。再来看法向导数。法向导数为342321yBxBxBByw)...

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