薄板弯曲问题的有限单元法VIP免费

第6章薄板弯曲问题的有限单元法1.薄板弯曲问题的基本方程2.薄板弯曲问题的非协调矩形单元3.非协调三角形板单元4.薄板弯曲问题的协调元6.1薄板弯曲问题的基本方程1弹性薄板的基本假设（克希霍夫假设）无挤压薄板弯曲时，平行于中面的各层面之间无挤压。这意味着薄板弯曲后厚度保持不变，因此可取。显然挠度w只是x,y的函数：0/zwz(1)),(yxww0,0zvywxwzuyzzx直法线变形前垂直于中面的直线段，变形后仍为直线，且仍然垂直于弯曲后的中面。这意味着yz和zx平面内的剪应变为零ywzvxwzu,0)(,0)(00zzvu从而得：无侧移薄板中面内各点都没有平行于中面的侧向位移，即结合几何方程可知，中面内形变分量均为零,即.0)(,0)(,0)(000zxyzyzx从上述的附加假设出发，可以将位移u、v用w表示。推导得(2),zywvzxwu这就是薄板弯曲问题的克希霍夫(Kirchhoff)假设，使用克希霍夫假设计算的板称为克希霍夫板。将用w表示的位移u,v代入几何方程这里，记为(3)}{2}{T22222zyxwywxwzxyyx}{(4)2}{22222Tyxwywxw称为薄板的广义应变分量。薄板中的应力}]{[}]{[210001011}{002DzDExyyxxyyx(5)}]{[}]{[12d}{}{03/2/2-DDhzzMMMMhhxyyx}{12}{3Mhz}{6}{22/Mhhz[D0]是平面应力问题的物理矩阵．薄板内力[D]是板的弯曲刚度矩阵．显然最大应力发生在薄板的上下表面2弹性薄板的几点简化应力分量的减少应变分量的减少位移之间有了附加关系应力应变关系的简化0z00yzzx，zzywvzzxwuyxwwxy,),,(xyyxxyyxE21000101121薄板弯曲问题节点位移参数的选择采用克希霍夫假设后，薄板的变形状态完全由一个变量，即中面挠度w(x,y)来确定。然而，在有限元法中只取挠度本身作为节点位移参数是不够的。按克希霍夫理论，薄板内部非中面上各点的位移(u,v,w)是用相应的中面点的挠度w(x,y)和该点处中面法线转角θx和θy来表示的(2式)。因而，为了保证板内位移(u,v,w)在整个求解区域内单值连续，除要求w在全域内单值连续外，还必须要求θx和θy在全域内也是单值连续的。这里．xwywyx,6.2矩形薄板单元将只要求函数本身连续的问题称为C0问题，如弹性力学平面问题；将不但函数本身，还要求其一阶导数连续的问题称为C1问题，如薄板弯曲问题。iiiyixiiixwywww)/()/(}{如果将位移模式仍然取为多项式，要求在全域内位移及一阶导数连续，这等价于在单元边界上要保证位移及一阶导数连续，因此在单元结点上必须保证位移及一阶导数连续，即应选取三个结点位移参数如果取四节点单元，则取位移函数为31231131029283726524321xyyxyxyyxxyxyxyxw两个四次项的选取，保证了在单元边界上，即x=const，y=const时，位移是三次多项式。3423213123113102928372652432134232131231131029283726524321),(),(yByByBBdyydydyyddydydydydwxAxAxAAxccxcxccxxcxcxcxcxw位移连续性问题。在ij边上，y=const，共有四个参数，可由ij边两端节点的位移参数唯一确定，因此在相邻单元的公共边界上，位移w及其切向导数是连续的。342321xAxAxAAwjjiixwwxww)()(，，，）（即xwsw//仍有四个参数，但是节点参数只有两个，无法唯一确定法向导数。也就是说，在两个相邻单元的公共边界上，位移模式w的法向导数并不相同。再来看法向导数。法向导数为342321yBxBxBByw）...