[高中数学]数学期望与方差VIP免费

数学期望与方差•例设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量，假设由历史纪录可得到它们分别有下面的分布列。（其中0环表示脱靶），试问，应如何来评定甲、乙的技术优劣？ξ甲10987650P0.50.20.10.10.050.050ξ乙10987650P0.10.10.10.10.20.20.2•解由射手甲的分布列很清楚地知道，他命中10环的概率是0.5，换句话说，他发出100粒子弹，约有50粒子弹命中10环，同理，约有20粒命中9环，约有10粒命中8环和7环，约有5粒命中6环和5环，没有脱靶的，这样“平均”起来甲命中环数约为我们把它记作E(ξ甲)，对上式稍做变化得=10X0.1+9X0.1+8X0.1+7X0.1+6X0.2+5X0.2+0X0.2=8.85(环)(1)式)(85.8)0055561071082095010(1001环1000010055100561001071001081002091005010)(ξ甲E（1）式可以作为射手甲击中环数的理论平均值，因为它是由ξ甲的理论取值与理论取值的概率相乘后求和得到（亦即加权平均得到）的。同样，对于射手乙理论平均命中环数为E(ξ乙)=10X0.1+9X0.1+8X0.1+7X0.1+6X0.2+5X0.2+0X0.2=5.6(环)(2)式由（1）及（2）式看到，从理论平均中环数看，射手甲的射击水平高于射手乙的射击水平，同时，我们也看到，这种反应随机变量取值‘平均’意义特性的数值，恰好是这个随机变量取的一切可能值与相应概率乘积的总和，即若随机变量ξ取值为x1,x2…,取这些值相应的概率为p1,p2,…,则反映ξ“平均”意义的数字特征为Eξ=x1p1+x2p2+…=Σxipi,并把它叫做ξ的平均值。加权平均值数学期望•对于射手甲、乙的技术水平，除了上述从平均的角度来考虑外，还可以从射击命中环数的集中或离散程度来考虑，由上所述，射手甲命中环数的平均值是8.85，因此，他命中10环与平均值8.85的偏离值为10-8.85=1.15，偏离的平均值为（10-8.85）2.但射手甲命中10环的概率为0.5，因而，在射击100发子弹中约有50次出现偏离的平方为（10-8.85）2，同样理由，可得下表（Ⅰ）表（Ⅰ）偏离值ξ-Eξ10-8.859-8.85…5-8.850-8.85偏离值的平方(ξ-Eξ)2(10-8.85)2(9-8.85)2…(5-8.85)2(0-8.85)2概率p0.50.2…0.050偏离值10-8.859-8.85…5-8.850-8.85偏离值的平方(10-8.85)2(9-8.85)2…(5-8.85)2(0-8.85)2概率0.50.2…0.050按平均值E(ξ甲)的想法，射手甲射击的“平均”的平方偏差值可为并记它Dξ甲，改写后为Dξ甲=(10-8.85)2X0.5+(9-8.85)2X0.2+…+(5-8.85)2X0.05+(0-8.85)2X0=2.2275(3)式同理，可得Dξ乙=(10-5.6)2X0.1+(9-5.6)2X0.1+…+(5-5.6)2X0.2+(0-5.6)2X0.2=10.24(4)式比较（1）及（2）两式得知，从偏离平方值的“平均”值看，射手甲的技术优于射手乙。把（3）与（4）抽象成一般形式，得到：若离散型随机变量ξ取值为x1,,x2,,…,相应的概率为p1,p2,…,则反映ξ“平均”平方偏离值特性的数值为[x1-E(ξ)]2p1+[x2-E(ξ)]2p2+…=[(x1-E(ξ)]2p记它为D(ξ)。]0)85.80(5)85.85(...20)85.89(50)85.810[(10012222i这里，我们求偏离值平方的“平均”值，而不去求偏离值的“平均”值，原因在于：偏离值有正，有负，在相加的的过程中，不应让它们互相抵消，而应让每一次偏离值(不管是正是负)都被考虑进去，故可考虑偏离值的平方值，乘以相应的概率并相加求和。如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是X1，x2，…,xn，…,且取这些值的概率分别是P1，p2，…ｐn,…那么，把叫做随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中Ｅξ是随机变量ξ的期望，Ｄξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作ａξ,随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身有相同的单位...)(...)()(2222121nnPExPExPExDD